수학과 사는 이야기

원운동과 같은 운동은 동경과 편각에 따라 결정되는 것이 많아서 극좌표나 구면 좌표를 써야 편하다. 실제로 과학 공부엔 극좌표가 훨씬 유용하다. 그럼 이제 직교 좌표계가 아닌 다른 좌표계에서 운동은 어떻게 표현될까 알아보자. 극좌표 극좌표 평면에 있는 점 $P(r,\theta)$가 주어진 곡선을 따라 운동할 때, 위치, 속도, 가속도를 나타내는 방법을 찾아보자. 극좌표에서는 직교좌표에서 쓰는 $\mathbf {i},\mathbf {j}$ 기본단위 벡터 대신에 아래에 있는 단위 벡터 $\mathbf {u}_r,\mathbf {u}_{\theta}$를 써서 나타낸다. 이때 두 벡터에 곱해지는 스칼라를 성분으로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. $$\begin {equation}\mathbf {u}_r=(\cos..

1차 선형 미분방정식(first-order linear differential equation)은 아래와 같은 꼴로 정리되는 미분방정식이다. $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$$이 때, $P,Q$는 연속인 $x$의 함수다. $y$의 차수가 1차라서 선형으로 부른다. 만약 $\sin y$나 $e^y$와 같은 꼴이 함께 있다면 비선형이다. 1차 선형 미분방정식을 푸는 방법을 찾아보자. 왼쪽은 어떤 함수를 미분한 것인가를 찾는 것이다. $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$와 $y$가 함께 있는 꼴이 나오려면 곱의 미분법을 썼다고 생각할 수 있다. 따라서 양변에 적당한 적분인자 $v(x)$를 곱해서 적분하는 것을 생각할 수 있다. $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$..