수학과 사는 이야기

입력하려니 엄두가 나지 않아서 손글씨로 올려 둔다. 많이 한가해지면 차근차근 정리해 볼 작정이다. 나이 먹어서 공부하니 즐겁다. 대학 때 이렇게 열심히 공부했으면 박사가 되었을까?^^ 요즘 공부를 하는 까닭은 갑자기 물리를 공부하고 싶어졌기 때문이다.

수학과 물리학자이면서 천문학자였던 피에르 시몬 마르퀴스 데 라플라스는 확률론에서 미분방정식을 아주 쉽게 계산할 수 있게 해주는 적분 변환을 고안하였다. 프랑스의 뉴턴으로 불렸던 그는 가난한 농부의 아들이었지만 훗날 나폴레옹과 친구가 되고 귀족이 되었다. 라플라스 변환을 공부하면 미분방정식을 대수방정식으로 바꾸고 해를 구하고 이를 역변환하여 미분방정식의 해를 구할 수 있게 된다. 라플라스 변환 정의 함수 $f$의 라플라스 변환은 $t \geq 0$에서 정의된 함수를 아래와 같이 적분한 값이 수렴하는 함수다. $$F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^{b} e^{-st} f(t) dt$$ 이것을 기호로는 $..

단순 조화진동자(simple harmonic oscillator) 운동을 방해하는 힘이 전혀 없을 때 일어나는 운동을 단순 조화진동자라 한다. 주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다. $$F=-kx$$ 뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다. $$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$ $$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$ 여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다. $$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$ 특성 방..

먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자. 2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자. $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$ 이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자. $$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$ 이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다. $$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$ 이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or c..

이제 고차 미분방정식을 어떻게 풀까 공부해 보자. 먼저 기본 정의와 정리를 살펴 보아야 한다. 2차 선형 미분방정식을 푸는 방법