수학과 사는 이야기

근의 공식 만들기 이차방정식에서 완전제곱식으로 고쳐서 제곱근을 활용하면 근의 공식을 얻을 수 있다. $$ax^2 +bx+c=0,\quad\quad a\not=0 $$ 1. $a$로 양변을 나눈다. $$x^2 +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$ 2. 상수항을 이항한다. $$x^2 +\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$ 3. 양변에 $(b/2a)^2$을 더한다. (1차항 계수를 2로 나누고 제곱한 수를 더한다.) $$x^2 +\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}$$ 4. 완전제곱식으로 고친다. $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 =\frac{b^2-4..

수학은 아름답다는 말이 있다. 전혀 공감하지 못하는 이들도 많지만 공감하는 이들도 제법 많다. 내가 아니라고 남들도 다 그럴 것이라고 생각하지 말자. 수학을 가르치는 교사로서 왜 수학이 아름다운가를 묻는다면 이렇게 대답한다. 수학은 세상에서 가장 복잡한 일을 세상에서 가장 간단한 것으로 해결할 수 있도록 해주기 때문에 아름답다. 모든 수학 문제를 분해하고 나면 덧셈만 남는다. 결국 인류는 1+1=2에서 시작해서 우주의 운동 법칙을 밝히는데 이르렀다. 중학교나 고등학교 수학 교과는 복잡한 식을 간단한 식으로 만드는 과정만 안다면 끝이다. 이차함수를 보자. $$y=x^2\tag{1}$$ $$y=2x^2 \tag{2}$$ $$y=2(x-2)^2\tag{3}$$ $$y=-(x+2)^2 +1\tag{4}$$ $$..

이차함수는 중학교 3학년 과정에 등장한다. 이차함수의 그래프인 포물선을 평행이동하는데 이것을 정확하게 설명하기가 생각보다는 어렵다. 특히 도형의 방정식을 온전하게 지도하려면 고등학교 과정이 필요하다. 선행학습으로 이미 과정을 배운 학생도 도형의 평행이동을 완벽하게 이해하지 못하는 학생이 많다. 평행이동을 중학교 수준에서 정리해 두려고 한다. 평행이동은 초등학교 4학년과 중1에서 잠깐 등장하지만 수학적으로 정의하지 않고 그냥 배운다. 일단 중학교 1학년 교과서에 있는 설명을 보자. 평행이동은 어떤 도형 위에 있는 모든 점을 일정한 방향으로 정해진 거리만큼 옮기는 것이다. 이차함수 그래프의 평행이동 중학교 1학년에서 좌표평면을 배웠으므로 이제는 $x$축 방향과 $y$축 방향을 구분하여 다룰 수 있다. $y=..

농구공에 전혀 힘을 가하지 않고 공중에서 떨어뜨리고 일정한 시간마다 사진을 찍어서 아래와 같은 사진을 얻었다. 이처럼 만유인력만 작용하는 낙하를 자유낙하(free fall)라고 부른다. 시간 $x$와 낙하거리 $y$ 사이의 관계를 표로 나타내면 아래와 같다. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81 함수식으로 나타내면 $y$는 $x^2$에 비례한다. $$y=x^2$$ 자유낙하는 등가속도 운동이다. 자유낙하를 조금 더 정확한 식으로 적으면 아래와 같다. (단, $g=9.8m/s^2$) $$y=\frac{g}{2}x^2\tag{1}$$ 참고: 만유인력 법칙에 따르면 중력가속도 $g$는 물체와 지구 사이 거리의 제곱에 반비례하므로 상수가 아니다. 하지만 지구 크기가 매..