수학과 사는 이야기

17. A function continuous at only one point Let $$f(n)=\begin{cases}x, & \mbox{if }x \mbox{ is a rational } \\0, & \mbox{if }x\mbox{ is irrational}\end{cases}$$ a. Show that $ƒ$ is continuous at $x = 0.$ b. Use the fact that every nonempty open interval of real numbers contains both rational and irrational numbers to show that ƒ is not continuous at any nonzero value of $x$. 18. The Dirichlet ru..

먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자. 2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자. $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$ 이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자. $$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$ 이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다. $$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$ 이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or c..

정의 테일러 급수는 어떤 점에서 무한 번 미분가능한 함수를 그 점에서 미분계수 값으로 계산할 수 있는 무한급수로 표현된 함수로 나타내는 것이다. 결과를 적으면 아래와 같다. $a=0$일 때는 맥클로린 급수라고 부른다. $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ (단, $f^{(n)}(a)$은 $n$계 미분계수를 나타낸다.) 함수 가운데 다항함수는 다루기 매우 쉽다. 테일러 급수는 여러 가지 함수를 다루기 쉬운 다항함수로 근사시키는 방법이다. 예로 $f(x)=\sin x$를 살펴보자. $f(x)=\sin x$와 아주 가까운 다항함수 $y=g(x)$를 찾아 나가기로 하자. 먼저 1차 함수는 아주 간단하다. $x=0$일 때, 접선의 방정식은 $y=x$..