수학과 사는 이야기

급수가 수렴하는가를 판정하는 여러 가지 방법을 배웠다. 이를 바탕으로 이제 거듭제곱 급수를 정리해 보자. 한자로 거듭제곱은 멱冪으로 적는다. 조금 옛날식 이름인 멱급수(冪級數)로 부르는 책도 있다. 다항함수는 미적분으로 다루기 매우 쉬운 함수다. 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때, 함수 $f(x)$로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는다면 많은 문제가 저절로 해결된다. 가장 널리 쓰이는 거듭제곱 급수는 테일러급수다.

정리 급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$은 급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$을 재배열한 급수라고 하자. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$이 절대수렴이면 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$도 절대수렴이고 아래와 같이 극한값이 같다. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$$ 두 급수는 극한값이 같음을 증명하였다. 아래와 같이 재배열한 급수도 절대수렴임을 보이면 된다. 이 정리에 따라 절대수렴인 수열은 마음대로 재배열하여 극한값을 구할 수 있다. https://en.wikipedia.org/wiki/Riem..

교재에 있는 급수의 수렴, 발산을 판정하는 마지막 정리인 교대급수 판정을 정리해 보자. 이제 10장도 막바지에 이르렀으니 시험도 얼마 남지 않았다. 끝까지 최선을 다하길 바란다. 이 정리를 증명하려면 연습문제 70번(p618)을 참고하라. 참고 놀랍게도 리만 재배열 정리에 따르면 교대 조화급수처럼 조건수렴하는 급수를 재배열하여 임의의 실수로 수렴하는 급수를 만들 수 있다.

무한급수가 수렴하는가 판정하는 방법에 대한 공부도 이제 막바지다. 일일이 타이핑하기가 너무 힘들어 필기를 그대로 올려두지만 글씨는 맘에 들지 않는다. 아이패드에 쓰는 글씨는 좀처럼 늘지 않는다. 1. Absolute Convergent Test 2. Ratio Test 3. Root Test

등비급수나 p-급수처럼 곧바로 수렴과 발산을 판정할 수 있는 무한급수가 있다. 어떤 급수는 쉽게 수렴, 발산을 판정할 수 있는 급수와 비교하여 판정할 수 있다. 두 가지 정리를 증명해 보자. 비교 판정 정리 음이 아닌 항 만을 가진 급수 $\sum a_n , \sum c_n , \sum d_n$이 있다. 어떤 자연수 $N$에 대하여 $n >N$인 모든 자연수 $n$에서 아래가 성립한다고 가정하자. $$d_n \leq a_n \leq c_n$$ (a) $\sum c_n$이 수렴하면 $\sum a_n$은 수렴한다. (b) $\sum d_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다. 증명 (a) $\sum a_n$의 부분합은 아래와 같은 수 $M$으로 위로 유계된다. $$M=a_1 +a_2 +a_3 +\cd..