수학과 사는 이야기

오일러 이름이 붙은 상수 자연 로그의 밑인 $e$는 널리 알려져 있다. 또 다른 오일러 상수 $\gamma$가 있다. 오일러-마스케로니 상수로도 부른다. 아마도 자기 이름이 붙은 상수를 둘이나 가진 수학자는 오일러가 유일하지 않을까? 오일러 상수 $\gamma$는 아래에 있는 수열 $\{a_n\}$의 극한값이다. $$a_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n$$ 이 수열은 아래 그림과 같이 조화수열과 자연로그의 차를 나타낸다. 역사 이 수열은 1734년 스위스 수학자 오일러가 쓴 에 처음 등장한다. 오일러는 $C$나 $O$로 표시하였다. 1790년 이탈리아 수학자 마스케로니Lorenzo Mascheroni는 $A$와 $a$로 적었다. 세월이 흐른 뒤 이 상수가 감마 함수 gamma..

정의 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \leq M$인 실수 $M$이 있다면 수열 $\{a_n\}$은 위로 유계bounded from below되었다고 한다. 이때, 실수 $M$을 상계upper bound라 한다. 가장 작은 상계least upper bound를 상한supremum이라 한다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \geq m$인 실수 $m$이 있다면 수열 $\{a_n\}$은 아래로 유계bounded from below되었다고 한다. 이때, 실수 $m$을 하계lower bound라 한다. 가장 작은 하계greatest lower bound를 상한infimum이라 한다. 상계와 하계가 모두 있다면 수열 $\{a_n\}$은 유계bounded라고 한다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n ..

미분방정식은 특별한 모양이 아니면 해를 구하기 무척 어렵다. 하나도 풀기 어려운데 방정식이 둘 이상이라면 더욱 어렵다. 자율 방정식 풀이법을 활용하여 둘 이상의 미분방정식을 모두 만족하는 해를 찾는 방법을 소개한다. 처음이니까 위상 평면 분석법으로 1차 미분방정식이 둘인 시스템을 이해하는 방법을 적는다. 토마스 미적분학 책 9.5에 있는 글을 옮긴 것이다. 이밖에도 570페이지 연습문제에 나오는 로카-볼테라 모델도 있다. 이 모델은 토끼와 여우처럼 사냥하는 종과 희생당하는 종이 공존할 때 개체수가 어떻게 변할까를 모델로 만든 것이다. 아래 연결 고리를 따라가면 자세한 공부를 할 수 있다. https://en.wikipedia.org/wiki/Lotka%E2%80%93Volterra_equations Lo..

토마스 미적분 8.5 연습문제 풀이 몇 개. 유리함수를 적분할 때 분모가 1차식으로 모두 인수분해가 된다면 헤비사이드 방법을 써서 부분 분수로 분해하면 아주 간단하게 적분할 수 있다. 그러나 더 이상 분해되지 않는 이차식이 분모에 남아 있다면 마냥 쉽지는 않다. 과제인 연습문제에 대한 질문이 있어서 몇 문제 풀어 놓는다.