'수학이야기/Calculus' 카테고리의 글 목록 (3 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/Calculus

반응형
절대 수렴, 비, 근 판정
수학이야기/Calculus 2020. 7. 14. 11:50
무한급수가 수렴하는가 판정하는 방법에 대한 공부도 이제 막바지다. 일일이 타이핑하기가 너무 힘들어 필기를 그대로 올려두지만 글씨는 맘에 들지 않는다. 아이패드에 쓰는 글씨는 좀처럼 늘지 않는다. 1. Absolute Convergent Test 2. Ratio Test 3. Root Test
비교 판정 Comparison Test
수학이야기/Calculus 2020. 7. 13. 17:44
등비급수나 p-급수처럼 곧바로 수렴과 발산을 판정할 수 있는 무한급수가 있다. 어떤 급수는 쉽게 수렴, 발산을 판정할 수 있는 급수와 비교하여 판정할 수 있다. 두 가지 정리를 증명해 보자. 비교 판정 정리 음이 아닌 항 만을 가진 급수 $\sum a_n , \sum c_n , \sum d_n$이 있다. 어떤 자연수 $N$에 대하여 $n >N$인 모든 자연수 $n$에서 아래가 성립한다고 가정하자. $$d_n \leq a_n \leq c_n$$ (a) $\sum c_n$이 수렴하면 $\sum a_n$은 수렴한다. (b) $\sum d_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다. 증명 (a) $\sum a_n$의 부분합은 아래와 같은 수 $M$으로 위로 유계된다. $$M=a_1 +a_2 +a_3 +\cd..
또 다른 오일러 상수
수학이야기/Calculus 2020. 7. 13. 16:51
오일러 이름이 붙은 상수 자연 로그의 밑인 $e$는 널리 알려져 있다. 또 다른 오일러 상수 $\gamma$가 있다. 오일러-마스케로니 상수로도 부른다. 아마도 자기 이름이 붙은 상수를 둘이나 가진 수학자는 오일러가 유일하지 않을까? 오일러 상수 $\gamma$는 아래에 있는 수열 $\{a_n\}$의 극한값이다. $$a_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n$$ 이 수열은 아래 그림과 같이 조화수열과 자연로그의 차를 나타낸다. 역사 이 수열은 1734년 스위스 수학자 오일러가 쓴 에 처음 등장한다. 오일러는 $C$나 $O$로 표시하였다. 1790년 이탈리아 수학자 마스케로니Lorenzo Mascheroni는 $A$와 $a$로 적었다. 세월이 흐른 뒤 이 상수가 감마 함수 gamma..
적분으로 무한급수가 수렴함을 판정
수학이야기/Calculus 2020. 7. 9. 22:06
보기 아래와 같은 p-급수는 $p>1$이면 수렴하고 $p\leq1$이면 발산한다.(p는 실수) $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}= \frac{1}{1^P}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}+\cdots$$ 참고: 위에 있는 무한급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$은 아주 널리 알려진 문제다. 이 문제를 해결한 오일러를 기리기 위해 고향인 바젤을 붙여서 바젤 문제라고 부르기도 한다. 아래 글을 참고하면 수렴하는 값을 구할 수 있다. https://suhak.tistory.com/858 리만 제타함수로 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 계산하..
단조 수열 정리
수학이야기/Calculus 2020. 7. 9. 17:01
정의 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \leq M$인 실수 $M$이 있다면 수열 $\{a_n\}$은 위로 유계bounded from below되었다고 한다. 이때, 실수 $M$을 상계upper bound라 한다. 가장 작은 상계least upper bound를 상한supremum이라 한다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \geq m$인 실수 $m$이 있다면 수열 $\{a_n\}$은 아래로 유계bounded from below되었다고 한다. 이때, 실수 $m$을 하계lower bound라 한다. 가장 작은 하계greatest lower bound를 상한infimum이라 한다. 상계와 하계가 모두 있다면 수열 $\{a_n\}$은 유계bounded라고 한다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n ..

티스토리툴바