'수학이야기/Calculus' 카테고리의 글 목록 (2 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/Calculus

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이항급수 Binomial Series
수학이야기/Calculus 2020. 7. 27. 19:49
$x=0$에서 함수 $f(x)=(1+x)^m$로 테일러 급수를 생성해 보자. $m$은 상수이다. $$\begin{split} f(x)&=(1+x)^m \\ f^{\prime}(x)&=m(1+x)^{m-1}\\f^{\prime\prime}(x)&=m(m-1)(1+x)^{m-2}\\f^{\prime\prime\prime}(x)&=m(m-1)(m-2)(1+x)^{m-3} \\ & \vdots \\ f^{(k)}(x)&=m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)(1+x)^{m-k}\end{split}$$ $$\begin{split}f(x)=&1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2 +\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3+\\ &\cdots+\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}..
거듭제곱 급수 Power Series
수학이야기/Calculus 2020. 7. 22. 11:00
급수가 수렴하는가를 판정하는 여러 가지 방법을 배웠다. 이를 바탕으로 이제 거듭제곱 급수를 정리해 보자. 한자로 거듭제곱은 멱冪으로 적는다. 조금 옛날식 이름인 멱급수(冪級數)로 부르는 책도 있다. 다항함수는 미적분으로 다루기 매우 쉬운 함수다. 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때, 함수 $f(x)$로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는다면 많은 문제가 저절로 해결된다. 가장 널리 쓰이는 거듭제곱 급수는 테일러급수다.
조화급수 Harmonic Series
수학이야기/Calculus 2020. 7. 16. 17:49
조화급수는 아래와 같은데 발산하는 급수이다. 무한급수를 공부할 때 자주 나오는 급수라서 정리해 둔다. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$$ 조화수열은 역수가 등차수열인 수열이다. 음악에서 음은 진동수에 따라 결정되는데 기준 음보다 높은음은 현 길이에 반비례한다. 다시 말하면 음이 올라갈 때 진폭은 아래와 같은 수열을 이룬다. $$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\cdots$$ 위와 같이 음의 조화와 관계되었기에 이름이 조화 급수인 것이다. 역사 14세기 니콜 오레즈메가 이 급수가 발산함을 증명하였으나 잊히고 말았다. 17세..
페이지 618 연습문제 70
수학이야기/Calculus 2020. 7. 15. 17:13
정리 급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$은 급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$을 재배열한 급수라고 하자. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$이 절대수렴이면 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$도 절대수렴이고 아래와 같이 극한값이 같다. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$$ 두 급수는 극한값이 같음을 증명하였다. 아래와 같이 재배열한 급수도 절대수렴임을 보이면 된다. 이 정리에 따라 절대수렴인 수열은 마음대로 재배열하여 극한값을 구할 수 있다. https://en.wikipedia.org/wiki/Riem..
교대급수와 조건수렴
수학이야기/Calculus 2020. 7. 15. 09:47
교재에 있는 급수의 수렴, 발산을 판정하는 마지막 정리인 교대급수 판정을 정리해 보자. 이제 10장도 막바지에 이르렀으니 시험도 얼마 남지 않았다. 끝까지 최선을 다하길 바란다. 이 정리를 증명하려면 연습문제 70번(p618)을 참고하라. 참고 놀랍게도 리만 재배열 정리에 따르면 교대 조화급수처럼 조건수렴하는 급수를 재배열하여 임의의 실수로 수렴하는 급수를 만들 수 있다.

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