'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (31 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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평행사변형의 성질
수학이야기/중학수학2 2022. 10. 14. 09:29
평행사변형은 그림과 같이 평행한 두 쌍의 직선이 교차할 때 만들어지는 사각형이다. 다시 정리하면 평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행인 사각형이다. 따라서 사각형 $ABCD$가 평행사변형이라면 아래는 저절로 보장된다고 할 수 있다. $$\overline{AB}//\overline{CD},\;\;\overline{AD}//\overline{BC}\tag{1}$$ 어떤 사각형이 평행사변형인지 아닌지 구분하려면 어떻게 해야 할까? 다른 글에서 두 직선이 평행임을 밝히려면 만나지 않는 것을 보이는 것이 아니라 엇각이나 동위각이 같음을 확인해야 한다. 두 직선이 또 다른 한 직선과 만날 때, 두 직선이 평행이면 엇각이 서로 같고 서로 엇각이 같으면 두 직선은 평행하다. 나중에 배우는 말로 두 직선이 평행하다는 조건과..
내접원과 삼각형의 넓이
수학이야기/중학수학2 2022. 10. 11. 21:00
초등학교에서 삼각형 넓이를 구하는 공식을 배운다. 사실 초등학교 수준에서 이 공식을 완벽하게 이해하기는 쉽지 않지만 대부분 학생은 일단 외워서 잘 사용하고 있다. 삼각형 넓이$=\displaystyle{\frac {1}{2}}\times$ 밑변 $\times$ 높이 중학교에선 문자와 식을 배우니까 삼각형 $ABC$의 넓이 $A$는 아래와 같이 표현한다. $$A=\frac{1}{2}ah\tag{1}$$ 중학교 2학년에서 내심을 배우고 나면 삼각형의 넓이를 구하는 또 다른 공식을 하나 알게 된다. 먼저 그림과 같이 $\triangle ABC$의 내심을 $I$라고 하고 세 변에 내린 수선을 발을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하자. 내심의 성질에 따라 $\overline{ID}=\overline{IE}=\..
직각삼각형의 합동조건
수학이야기/중학수학2 2022. 10. 5. 13:04
중학교 1학년에서 삼각형의 합동 조건 세 가지를 배워서 알고 있을 것이다. 두 삼각형이 아래에 있는 조건 하나를 만족하면 서로 합동이다. (변: Side 각: Angle) 1. 세 변의 길이가 각각 서로 같다. (SSS 합동) 2. 두 변의 길이와 사이에 끼인 각의 크기가 서로 같다. (SAS 합동) 3. 두 각의 크기와 한 변의 길이가 서로 같다. (ASA 합동) 너무도 당연해서 증명도 간단하지만 원래 간단한 것을 보이기가 더 쉽지 않다. 유클리드 원론에선 어떻게 증명했는지 궁금하면 아래를 참고하자. https://suhak.tistory.com/704 원론 1권_명제4 두 삼각형이 서로 합동이 되려면 중학교 1학년 수학에서 가장 중요한 것을 꼽으라면 삼각형을 들고 싶다. 유클리드 '원론'에 정삼각형을..
삼각형의 내심
수학이야기/중학수학2 2022. 10. 4. 19:34
먼저 각의 이등분선이 가지고 있는 성질을 알아보자. $\angle AOB$의 이등분선 위에 있는 점 $P$에서 변 $OA$와 변 $OB$에 내린 수선의 발을 각각 $C$, $D$라 하자. 두 삼각형 $\triangle PCO$와 $\triangle PDO$에서 $$\angle PCO=\angle PDO=90^{o}$$ $$\overline{PO}\quad \text{공통}$$ $$\angle{POC}=\angle{POD}$$ $$\triangle PCO\equiv \triangle PDO\tag{RHA}$$ $$\therefore\;\;\overline{PC}=\overline{PD}$$ 다시 정리하면 각의 이등분선 위에 있는 점에서 두 변에 이르는 거리는 같다. 역으로 두 변에서 같은 거리에 있는 점을..
삼각형의 외심
수학이야기/중학수학2 2022. 9. 29. 14:46
알고 보면 원에서 모든 도형이 태어난다. 하지만 수학 시간에 삼각형을 먼저 다룬다. 유클리드 원론이 그렇게 쓰였기 때문이리라. 중학교 2학년 수학에서 이등변삼각형과 직각삼각형을 다루고 바로 삼각형의 외심을 다루게 된다. 지도에 많은 아파트가 보인다. 특정한 세 아파트에 있는 학생들을 위한 학교를 새로 짓는다고 하자. 어느 곳에 짓는 것이 좋을까? 땅값이나 교통편을 고려해야 하지만 이런 요소를 제외하고 단순하게 거리만 고려한다고 하자. 거리만 고려한다면 세 점 $A,\;\;B,\;\;C$에 이르는 거리가 모두 같은 점 $O$를 찾는 문제로 바꿔 생각할 수 있다. 과연 그런 점은 존재할까? 답은 '존재한다'. 그러면 어떻게 찾아야 할까? 이런 문제 해결에 바로 삼각형의 외심을 사용한다. 먼저 선분의 수직이등..

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