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'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (31 Page)::::수학과 사는 이야기

수학과 사는 이야기

수학이야기

삼각형 넓이에 관하여

수학이야기/중학수학2 2022. 10. 19. 16:20

삼각형의 넓이를 구하는 공식은 이미 초등학교에서 배운다. 밑변의 길이가

$a$ 이고 높이가

$h$ 인 삼각형 넓이

$A$ 는

A=12×a×h<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(1)</mtext></mtd><mtd><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>×</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>h</mi></mtd></mlabeledtr></mtable></math>

넓이가 같은 삼각형으로 모양 바꾸기 당연히 밑변과 높이가 서로 같은 삼각형은 넓이가 같다. 이런 성질을 활용하여 우리는 넓이가 같은 삼각형을 쉽게 만들 수 있다. 그림에서 두 직선

$l$ 과

$m$ 은 서로 평행하다. 즉,

$l//m$ . 서로 다른 두 점

$A$ 와

$m$ 위에 있고 두 점

$C$ 와

$D$ 는 모두 직선

$l$ 위에 있다고 하자. 두 삼각형

$\triangle ABC$ 와

$\triangle ABD$ 의 높이는 꼭짓점

$C$ 와

$D$ 에서 모두 직선

$m$ 에 수선의 발을 내려서 찾을 수 있다. $..

평행사변형의 성질

수학이야기/중학수학2 2022. 10. 14. 09:29

평행사변형은 그림과 같이 평행한 두 쌍의 직선이 교차할 때 만들어지는 사각형이다. 다시 정리하면 평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행인 사각형이다. 따라서 사각형

$ABCD$ 가 평행사변형이라면 아래는 저절로 보장된다고 할 수 있다.

― A B / / ― C D, ― A D / / ― B C <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(1)</mtext></mtd><mtd><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo accent="true">―</mo></mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mover><mrow><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow><mo accent="true">―</mo></mover><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.278em"></mspace></mstyle><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.278em"></mspace></mstyle><mover><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow><mo accent="true">―</mo></mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mover><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mo accent="true">―</mo></mover></mtd></mlabeledtr></mtable></math>

어떤 사각형이 평행사변형인지 아닌지 구분하려면 어떻게 해야 할까? 다른 글에서 두 직선이 평행임을 밝히려면 만나지 않는 것을 보이는 것이 아니라 엇각이나 동위각이 같음을 확인해야 한다. 두 직선이 또 다른 한 직선과 만날 때, 두 직선이 평행이면 엇각이 서로 같고 서로 엇각이 같으면 두 직선은 평행하다. 나중에 배우는 말로 두 직선이 평행하다는 조건과..

내접원과 삼각형의 넓이

수학이야기/중학수학2 2022. 10. 11. 21:00

초등학교에서 삼각형 넓이를 구하는 공식을 배운다. 사실 초등학교 수준에서 이 공식을 완벽하게 이해하기는 쉽지 않지만 대부분 학생은 일단 외워서 잘 사용하고 있다. 삼각형 넓이

$=\displaystyle{\frac {1}{2}}\times$ 밑변

$\times$ 높이 중학교에선 문자와 식을 배우니까 삼각형

$ABC$ 의 넓이

$A$ 는 아래와 같이 표현한다.

A=12ah<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(1)</mtext></mtd><mtd><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>a</mi><mi>h</mi></mtd></mlabeledtr></mtable></math>

중학교 2학년에서 내심을 배우고 나면 삼각형의 넓이를 구하는 또 다른 공식을 하나 알게 된다. 먼저 그림과 같이

$\triangle ABC$ 의 내심을

$I$ 라고 하고 세 변에 내린 수선을 발을 각각

$D$ ,

$E$ ,

$F$ 라고 하자. 내심의 성질에 따라 $\overline{ID}=\overline{IE}=\..

직각삼각형의 합동조건

수학이야기/중학수학2 2022. 10. 5. 13:04

중학교 1학년에서 삼각형의 합동 조건 세 가지를 배워서 알고 있을 것이다. 두 삼각형이 아래에 있는 조건 하나를 만족하면 서로 합동이다. (변: Side 각: Angle) 1. 세 변의 길이가 각각 서로 같다. (SSS 합동) 2. 두 변의 길이와 사이에 끼인 각의 크기가 서로 같다. (SAS 합동) 3. 두 각의 크기와 한 변의 길이가 서로 같다. (ASA 합동) 너무도 당연해서 증명도 간단하지만 원래 간단한 것을 보이기가 더 쉽지 않다. 유클리드 원론에선 어떻게 증명했는지 궁금하면 아래를 참고하자. https://suhak.tistory.com/704 원론 1권_명제4 두 삼각형이 서로 합동이 되려면 중학교 1학년 수학에서 가장 중요한 것을 꼽으라면 삼각형을 들고 싶다. 유클리드 '원론'에 정삼각형을..

삼각형의 내심

수학이야기/중학수학2 2022. 10. 4. 19:34

먼저 각의 이등분선이 가지고 있는 성질을 알아보자.

$\angle AOB$ 의 이등분선 위에 있는 점

$OB$ 에 내린 수선의 발을 각각

$C$ ,

$D$ 라 하자. 두 삼각형

$\triangle PCO$ 와

$\triangle PDO$ 에서

∠ P C O = ∠ P D O = 90 o <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>P</mi><mi>C</mi><mi>O</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∠</mi><mi>P</mi><mi>D</mi><mi>O</mi><mo>=</mo><msup><mn>90</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>o</mi></mrow></msup></math>

공 통 ― P O 공통 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mover><mrow><mi>P</mi><mi>O</mi></mrow><mo accent="true">―</mo></mover><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mtext>공통</mtext></math>

∠ P O C = ∠ P O D <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi mathvariant="normal">∠</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>P</mi><mi>O</mi><mi>C</mi></mrow><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∠</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>P</mi><mi>O</mi><mi>D</mi></mrow></math>

△ P C O \equiv △ P D O <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(RHA)</mtext></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">△</mi><mi>P</mi><mi>C</mi><mi>O</mi><mo>\equiv</mo><mi mathvariant="normal">△</mi><mi>P</mi><mi>D</mi><mi>O</mi></mtd></mlabeledtr></mtable></math>

∴ ― P C = ― P D <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo>∴</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.278em"></mspace></mstyle><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.278em"></mspace></mstyle><mover><mrow><mi>P</mi><mi>C</mi></mrow><mo accent="true">―</mo></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi>P</mi><mi>D</mi></mrow><mo accent="true">―</mo></mover></math>

다시 정리하면 각의 이등분선 위에 있는 점에서 두 변에 이르는 거리는 같다. 역으로 두 변에서 같은 거리에 있는 점을..

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