'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (95 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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7. Integrals and Transcendental Functions
수학이야기/미적분 2016. 5. 10. 16:35
보통 $y=\ln x$를 $y=e^x$의 역함수로 정의한다. 이 때, 오일러 상수 $e$는 지수함수 $y=a^x\;\;(a>0)$에서 $x=0$일 때, 접선의 기울기가 $1$이 되도록 하는 밑으로 정의한다. $x$가 유리수라면 $a^x$는 직관적으로 잘 정의할 수 있지만 무리수라면 어렵다. 이 장에서는 다른 관점으로 정의하여 $y=e^x$를 $y=\ln x$의 역함수로 다루려고 한다. 처음에는 낯설지만 매우 우아하고 강력한 성질을 얻을 수 있다. Definition The national logarithm is the function given by $$\ln x =\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt, \quad x>0$$ Definition The number $e$ is that numb..
6.4 Exercises
수학이야기/미적분 2016. 4. 27. 16:57
31. An alternative derivation of the surface area formula Assume $f$ is smooth on $[a,b]$ in the usual way. In the $k$th subinterval $[x_{k-1},x_{k}]$, construct the tangent line to the curve at the midpoint $m_k=(x_{k-1}+x_{k})/2$, as in the accompanying figure. $$r_1 +r_2 =2f(m_k)$$ If line $l$ is the tangent Line at point $(m_k, f(m_k))$, then $$l: y-f(m_k)=f^{\prime}(m_k)(x-m_k)$$ $(x_{k-1},..
Uniformliy Continuous
수학이야기/미적분 2016. 4. 21. 13:37
$f: S\rightarrow\mathbb{R}$ Defnition 1. The function $f$ is said to be continuous on $S$ $\iff$ $$\forall x_0 \in S,\;\; \forall \varepsilon> 0,\;\; \exists \delta> 0\;\; such\;\;that\;\;\forall x \in S, |x– x_0| 0\;\; such\;\;that\;\; |x_1– x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|
6. Applications of Definite Integrals
수학이야기/미적분 2016. 4. 18. 17:34
정적분을 활용하여 부피, 곡선길이, 회전체의 표면적을 구해보자. 부피(Volume) 부피도 넓이와 마찬가지로 먼저 리만합으로 근삿값을 구하고 이 합의 극한값으로 정의한다고 이해하자. 평행한 판으로 자르기(Slicing by Parallel Planes) 그림에서와 같이 먼저 구간 $[a,b]$를 분할하자. $$a=x_0
5. Integration
수학이야기/미적분 2016. 3. 31. 17:49
고전 기하학에서 삼각형, 구, 원뿔의 넓이와 부피를 구한 것은 뛰어난 성취이다. 이제 더 일반적인 모양의 넓이와 부피를 구하는 방법을 살펴보자. 적분법(Integration)으로 부르는 이 방법은 더 많은 넓이와 부피를 구하는 도구이다. 적분(Integral)은 통계, 과학, 공학에서 중요한 기초다. 확률과 평균, 에너지 소비, 댐 수문에 미치는 힘과 같은 양을 계산하는데 쓴다. 여기에선 적분 개념이 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는데 쓰임을 주로 살펴본다. 5.1 넓이와 유한합으로 추정하기 (Area and Estimating with Finite Sums) 수학, 과학에서 정적분(Definite integral)은 넓이, 부피, 곡선 길이, 확률, 무게와 같은 중요한 양을 계산하고 정하는 미적분..

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