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수학이야기

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Line Integral
수학이야기/Calculus 2016. 10. 24. 10:24
사상 $f:(x,y)=4-x^2 -y^2$의 그래프는 포물면이다. 이 사상은 $f:R^2\rightarrow R$인 실가함수(real-valued function)로 볼 수 있다. 함수는 매개변수를 써서 표현할 수 있다. 이 함수의 정의역 $R^2$에 있는 곡선을 $\alpha : I\rightarrow R^2$인 함수 $\alpha:t\rightarrow (t,t^2)$을 생각하자. 이 곡선에 대한 함수 $f$의 상(image)은 곡선 $\beta:t\rightarrow (t,t^2,4-t^2-t^4)$이다. 그림으로 나타내면 아래와 같다. 이제 정의역에 있는 곡선을 따라 적분하는 선적분을 정의하자. 먼저 직선 $C:y=\sqrt3 x$을 따라 위의 점 $(0,0)$부터 $(1,\sqrt3)$까지 곡선..
Mapping and Function
수학이야기/Calculus 2016. 10. 18. 12:13
수학에서 사상(mapping or map)은 함수(function)를 일반화한 것이다. 그러므로 사상은 보통 함수로 이해하면 된다. 수학자 랑(Serge Lang)은 공역이 수집합($\mathbb{R,C}$)의 부분집합인 경우만 함수로 다루기도 한다. 사상은 함수를 포함하고 있는 것으로 보면 된다. 위상(topology)에서는 연속함수로 선형대수(linear algebra)에서는 1차변환(linear transformation)과 같이 분야에 따라 다른 이름으로 불리운다. 이제 $E^n$에서 $E^m$으로의 사상을 생각해 보자. $n=2$이고 $m=1$이라면 2변수 함수로 생각하면 되고 $n=1$이고 $m=3$이라면 벡터 함수(vector valued function or vector function)으..
2016학년도 카이스트 논술_01
수학이야기/면접논술 2016. 10. 17. 19:58
중심이 원점이고 초점이 $x$축 위에 있는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$이고 단축의 길이가 $2b$ 일 때, 이 타원을 $E_{a,b}$라고 하자.($a>b>0$) 1) 음함수의 미분법을 이용하여 타원 $E_{a,b}$ 위의 점 $(x_0 ,y_0 )$에서의 접선의 방정식을 구하시오.(2점) 2) 타원 $E_{a,b}$ 밖의 점 $P_1 =(x_1 ,y_1 )$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.(3점) 3) 어떤 실수 $t_1$에 대하여 $P_1 =(2a\cos t_1 ,2b\sin t_1)$이라고 하자. $P_1$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 구하시오. 또한, 세 ..
타원을 극좌표로 나타내 보자.
수학이야기/기하벡터 2016. 6. 30. 14:13
타원은 두 정점에서 거리가 같은 점의 집합이다. 그림과 같은 타원은 $$\overline{PF}+\overline{PF^{\prime}}=2a$$을 만족한다. $$\sqrt{x^2 +y^2}+\sqrt{(x+2c)^2 +y^2}=2a$$ $$\sqrt{(x+2c)^2 +y^2}=2a-\sqrt{x^2 +y^2}$$ $${x^2+4xc+4c^2 +y^2}=4a^2-4a\sqrt{x^2 +y^2}+(x^2+y^2)$$ $${xc+c^2 }=a^2-a\sqrt{x^2 +y^2}$$ $$a\sqrt{x^2 +y^2} =a^2-{(xc+c^2) }$$ $$a^2({x^2 +y^2}) =a^4-2a^2{(xc+c^2) }+(xc+c^2)^2$$ $$a^2({x^2 +y^2}) =a^4-2a^2{(xc+c^2) }+..
Applications of Taylor series
수학이야기/Calculus 2016. 6. 20. 19:11
마치 무한차 다항식(infinite polynomials)처럼 보이는 변수 $x$를 포함한 무한급수가 거듭제곱 급수(power series)다. 오른쪽 급수가 $f(x)$로 수렴하는 것이므로 부분합 $P_n(x)$를 함수식 $f(x)$에 매우 비슷한 다항식으로 생각할 수 있다. 거듭제곱 급수는 서로 연산하여 새로운 급수를 만들 수 있고 항별로 미분하거나 적분할 수 있어서 매우 쓸모가 많다. 주어진 함수로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는 방법 가운데 가장 많이 쓰는 것이 바로 테일러 급수다. $$\frac{d}{dx} \tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2 +x^4 -x^6 +\cdots$$ 양변을 적분하면 $$\tan^{-1}x +C=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}..

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