'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (92 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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포물선의 포락선(Envelope)
수학이야기/기하벡터 2017. 3. 15. 11:17
정리 포물선에서 준선 위의 점 $D$와 초점 $F$의 수직이등분선은 포물선에 접한다. 먼저 포물선 정의에 따라 기하적인 증명을 해보자. 증명보기 1 선분 $DF$의 수직이등분선을 $l$이라 하자. 준선 위의 점 $D$에서 준선에 수직인 직선을 $m$이라 하자. $l$과 $m$이 만나는 점을 $P$라고 하자. $$\overline{PD}=\overline{PF}$$ 이므로 점 $P$는 포물선 위의 점이다. 이제 직선 $l$이 포물선과 $P$가 아닌 다른 점 $P^{\prime}$에서 만난다고 하자. $$\overline{P^{\prime}D}=\overline{P^{\prime}F}\;\;(\because p^{\prime}\in l)$$ 점 $P^{\prime}$에서 준선에 내린 수선의 발을 $H$라고 ..
2017학년도 카이스트 일반전형 수학문제
수학이야기/면접논술 2016. 11. 29. 13:20
좌표평면 위의 점 $(a,0),(0,9-a)$를 잇는 모든 선분의 집합을 $D$라고 하자. 아래 물음에 답하여라.($0\leq a \leq 9$) 1) 선분이 점 $(1,4)$를 지나게 하는 모든 $a$의 값을 구하여라. 2) $D$가 점 $(1,y)$를 지날 때 $y$의 최댓값을 구하여라. 3) $D$의 모든 선분이 그리는 도형의 넓이를 구하여라. 풀이 $x,y$ 절편이 각각 $(a,0),(0,9-a)$인 직선의 방정식은 $$\frac{x}{a}+\frac{y}{9-a}=1$$ 이다. 그림으로 나타내면 집합 $D$는 위 그림에서 1사분면에 있는 영역이다. 먼저 1)에서 점 $(1,4)$를 지난다고 하면 $$\frac{1}{a}+\frac{4}{9-a}=1$$ $$9-a+4a=a(9-a)$$ $$a^2 ..
2017학년도 수능 29번. 30번
수학이야기/기하벡터 2016. 11. 19. 14:56
29번. 한 모서리의 길이가 4인 정사면체 ABCD에서 삼각형 ABC의 무게중심을 O, 선분 AD의 중점을 P라 하자. 정사면체 ABCD의 한 면 BCD 위의 점 Q에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{OQ}$와 $\overrightarrow{OP}$가 서로 수직일 때, $|\overrightarrow{PQ}|$의 최댓값은 $\displaystyle{\frac{q}{p}}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.(단, $p,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점] 3차원 공간벡터 문제이다. 그러므로 임의의 벡터를 일차결합으로 표현하려면 서로 평행하지 않은 3개의 기본벡터(basis)가 필요하다. 직육면체 문제라면 기본단위벡터로 간단하게 해결할 수 있지만 정사면체이므로 계산이 쉽지 않다. 따라서 정사..
Line Integrals in Conservative Fields
수학이야기/미적분 2016. 10. 31. 19:37
정의 공간에 있는 열린 영역 $D$에서 정의된 벡터장 $F$와 $D$에 있는 임의의 두 점 $A,B$이 있을 때, 점 $A$에서 시작하여 $B$에서 끝나는 모든 곡선 $C$를 따라 적분하는 선적분 $\int_{C}F\cdot dr$의 값이 모두 같다면 $\int_{C}F\cdot dr$는 $D$에서 경로 독립(path independent)이고 벡터장 $F$는 보존(conservative)장이라고 한다. 정의 벡터장 $F$가 영역 $D$에서 정의되고, 영역 $D$에서 정의된 어떤 스칼라 함수 $f$에 대하여 $F=\nabla f$를 만족한다면 $f$를 $F$를 위한 포텐셜(potential) 함수라고 부른다. 선적분의 기본 정리 영역 $D$에서 정의된 점 $A$에서 시작하여 $B$에서 끝나는 매끄러운 곡..
2016학년도 카이스트 논술_02
수학이야기/면접논술 2016. 10. 31. 15:54
2 이상인 자연수 $n$에 대하여 $0\leq x \leq 1$에서 정의된 함수 $\displaystyle{f_n (x)=\frac{nx(1-x)^n}{1+(nx-1)^2}}$가 있다. 1) $\displaystyle{\frac{d f_n (x)}{dx}=0}$이 되는 $x$가 $0$과 $1$사이에 존재함을 보이시오.(2점) 2) $\displaystyle{g_n(x)=nx(1-x)^n, \;\;h_n(x)=\frac{1}{1+(nx-1)^2},\;\;0\leq x \leq 1}$ 이라 할 때, 함수 $g_n(x)$와 $h_n(x)$의 증가, 감소 구간을 구하시오.(3점) 3) $f_n(x)$가 $x=a_n$에서 최댓값을 가진다고 하자. 문제 2)의 결과를 이용하여 $\displaystyle{\lim_{..

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