'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (99 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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하트곡선(cardioid)
수학이야기/기하벡터 2015. 6. 7. 20:41
반지름이 $a$인 두 원이 있다. 한 원을 고정하고 다른 원을 고정된 원 둘레를 따라 굴릴 때 구르는 원 위에 한 점이 그리는 자취는 하트 모양곡선(cardioid)이다. (참고 그리스말 : $\kappa\alpha\rho\delta\iota\alpha$(heart)에서 cardioid가 왔다.) 이를 매개변수로 나타내면 아래와 같다. $$x = a (2\cos t - \cos 2 t), \;\; y = a (2\sin t - \sin 2 t)$$ 이것을 오일러 공식을 써서 복소평면에 있는 곡선으로 나타내면 아래와 같다. $$z = a (2e^{it} - e^{2it})=ae^{it}(2-e^{it})$$ $|z|=r$이라고 하자. $$r^2 =z\overline{z}=a^2 e^{it}(2-e^{it}..
3차방정식 풀이법
수학이야기 2015. 6. 5. 13:45
삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$을 3차항 계수가 $1$인 방정식으로 바꾼다. 카르다노의 해법 주어진 방정식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)의 2차항을 없애기 위해, 치환 \(\displaystyle{x = t - \frac{a}{3}}\)을 사용한다. 새로운 방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)을 얻는다. 여기서 \begin{split} p &= b - \frac{a^2}3 \\q &= c + \frac{2a^3-9ab}{27} \end{split} $$t^3 + pt + q = 0\tag{a}$$ $$(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$$ $$(u+v)^3-3uv(u+v)-u^3-v^3=0\tag{b}$$ (a)와 (b)를 비교하여 새로운 두 변수 $u,v$를 다음과 같..
극좌표(Polar Coordinate)
수학이야기 2015. 5. 28. 13:56
평면에 있는 점의 위치를 나타내는 좌표계(coordinate system)는 좌표라고 부르는 순서쌍으로 나타낸다. 보통 수직인 두 축까지 거리를 쓰는 데카르트 좌표를 사용한다. 여러 가지로 편리한 표현이지만 때로는 뉴턴이 소개한 극좌표를 쓰는 것이 편리하다. 극좌표를 살펴보자. 평면 위 점을 하나 골라 극(pole) 또는 원점(origin)으로 부르고 $O$로 적는다. $O$를 시작점으로 하는 반직선을 그리고 극축(Polor axis)으로 부르자. 보통 데카르트 좌표계에서 $x$축 양의 방향을 극축으로 잡는다. 이제 점 $P$가 극(원점)과 떨어진 거리 $|\overrightarrow{OP}|=r$과 $\overrightarrow{OP}$이 극축과 이루는 각(radian) $\theta$의 순서쌍 $(r..
매개변수 방정식의 그래프
수학이야기 2015. 5. 27. 13:18
어떤 곡선은 $y=f(x)$의 꼴로 나타낼 수 없다. 이럴 때 점의 좌표를 시간의 함수로 보아 $x=f(t),\;\;y=g(t)$의 꼴로 나타낸다. $$x=f(t),\;\;y=g(t)$$ 이것이 매개변수 방정식이다. 이때 변수 $t$를 매개변수로 부른다. 매개변수를 소거하여 쉽게 그래프를 그릴 수 있는 경우도 많다. 하지만 대체로 매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 그래프를 그리는 일은 쉽지 않다. 먼저 쉬운 경우를 살펴보자. $$x=t^2 -2t,\;\;y=t+1$$ 아래 표와 같이 매개변수에 따른 $x,y$ 값을 조사하여 그릴 수 있다. $t$ $x$ $y$ $-2$ $ 8$ $-1$ $-1$ $ 3$ $0$ $ 0$ $0$ $1$ $1$ $-1$ $ 2$ $2$ $0$ $ 3$ $3$ $3$ $4$ ..
대칭군(symmetric group)
수학이야기 2015. 5. 9. 16:47
수학의 구조를 연구하는 대수학(algebra)은 군에서 출발한다. 그 가운데 많이 활용되는 대칭군에 대해 정리하고자 한다. 먼저 동치관계를 정리하자. 정의 1.1.1집합 $A$ 위에 정의된 관계 $\sim$가 다음 세 조건을 만족하면 이 관계를 $A$ 위의 동치관계(equivalence relation)라고 한다. $E_1 : a\sim a$ $E_2 : a\sim b \iff b\sim a$ $E_3 : a\sim b, \;\;b\sim c \iff a\sim c$ 집합 $A$ 위에 동치관계 $\sim$가 잘 정의되었다면 $A$의 원소 $a,b$에 대하여 $a\sim b$ 일 때 $a$와 $b$는 서로 동치(equivalence)라고 한다. 또 $a$와 동치인 $A$의 원소 전체의 집합을 $a$에 의하..

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