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수학이야기

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가우스 소거법(Gaussian elimination)
수학이야기 2015. 4. 29. 15:16
미지수가 같은 1차 연립방정식은 하나의 체계를 이룬다. 1차 연립방정식이 이루고 있는 체계를 연구하는 것이 선형대수(Linear Algebra)다. 먼저 연립방정식을 쉽게 풀어보자. \begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\ 3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\ 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 & \end{alignat} 첫째 식에서 $x = 5 + 2z − 3y$을 나머지 식에 대입한다. \begin{alignat}{5} -4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\ -2y &&\; + \;..
합성함수와 음함수의 미분
수학이야기/미적분 2015. 4. 20. 11:13
미분은 도함수는 구하는 일이다. 도함수는 아래와 같이 정의하였다. $$f ^{\prime} (x) =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ 복잡한 함수는 간단한 함수를 연산하거나 합성하여 만들어진다. 이제 정의를 바탕으로 합성함수를 미분해보자. 합성함수의 미분 함수 $y=(1+x^3)^4$는 복잡하다. 이 함수는 두 함수 $f(u)=u^4$, $u=1+x^3$가 합성된 것으로 생각하자. 두 함수 $y=f(u), \;\;u=g(x)$가 모두 미분가능하다고 하자. $ y=f(g(x))$의 도함수는 정의에 따라 아래와 같다. $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta ..
유클리드 원론 5권
수학이야기/유클리드원론 2015. 4. 13. 11:50
유클리드 원론 5권 Definitions Definition 1 A magnitude is a part of a magnitude, the less of the greater, when it measures the greater. 크기는 작은 것으로 큰 것을 측정했을 때, 큰 것보다 작은 크기의 부분이다. (magnitude는 선분의 길이, 각의 크기, 도형의 넓이와 같이 종류가 같은 것을 측정한 것인데 일단 크기로 옮기자.) Definition 2 The greater is a multiple of the less when it is measured by the less. 큰 것은 작은 것으로 측정되었을 때, 작은 것의 배수이다. 어떤 크기가 다른 작은 크기에 자연수를 곱한 것과 같다면 큰 것은 작은 ..
가우스 정17각형이 작도 가능함을 보이다
수학이야기/기하벡터 2015. 4. 1. 13:31
작도는 눈금 없는 자와 컴파스만으로 도형을 그리는 일이다. 그리스 수학에서 시작한 작도는 오랫동안 기하학의 기본이었다. 유클리드 '원론'은 작도로 증명하는 것과 마찬가지다. 간단한 증명을 보자. 원론 1권 명제 1 정삼각형을 그릴 수 있다. 명제 2 주어진 점에서 시작하여 주어진 선분과 같은 선분을 그릴 수 있다. 명제 1에서 증명한 바에 따라 점 $D$를 작도하고 직선 $DA$, $DC$를 긋는다. $A$를 중심으로 반지름 $\overline{AB}$인 원을 그려 점 $F$를 찾고 점 $D$를 중심으로 반지름 $\overline{DF}$인 원을 그린다. $\overline{AD}=\overline{CD}$이므로 $C$를 중심으로 반지름 $\overline{CG}$인 원을 그리면 $C$에서 시작하는 주어..
힐베르트 공리(Hilbert’s axioms)
수학이야기 2015. 3. 31. 17:08
이글은 위키피디아 힐베르트 공리를 우리말로 옮긴 것입니다. 유클리드 ‘원론’은 오랫동안 가장 모범적인 수학 교과서였다. 그러나 완벽한 것은 없는 법 훗날 ‘극한’ 개념이 확립되면서 부족한 부분이 발견되었다. 힐베르트는 1899년 저서 ‘기하의 바탕(Grundlagen der Geometrie : The Foundations of Geometry)’ 유클리드 기하를 현대적으로 다루기 위해 부족한 공리를 채울 것을 제안하였다. 처음에 공리 21개를 제안했지만 후에 무어가 다른 공리로 공리 하나를 증명하여 오늘날을 20개 공리가 남아 있다. 힐베르트 공리는 여섯 가지 기본 개념으로 만들었다. 세 가지 기본 용어 점 (point) 선 (line) 면 (plane) 세 가지 기본 관계 사이 (Betweenness..

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