수학과 사는 이야기

29. 좌표평면에서 넓이가 9인 삼각형 $ABC$의 세 변 $AB$, $BC$, $CA$ 위를 움직이는 점을 각각 $P,Q,R$라 할 때, $$\overrightarrow{AX}= \frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}$$ 를 만족시키는 점 $X$가 나타내는 영역의 넓이가 $\displaystyle{\frac{q}{p}}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이) 일반적으로 해결하기 귀찮아서 적당한 점으로 정해두고 푼다. 벡터는 위치벡터로 생각하면 좋으니 $A(0,0)$로 놓자. 삼각형 $ABC$는 넓이가 $9$라 했으므로 $B(3,6),..

많이 늦었지만 올해 수학 수능 30번 문제 풀이를 올려둔다. 늘 그렇듯 올해도 30번은 엄청나게 어렵다. 어떻게 이런 문제를 만들었을까도 궁금한 정말 복잡한 문제다. 이걸 풀어낸 수험생에게 경의를 표한다. 30. 최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{2+\sin(f(x))}}$이 $x= \alpha$에서 극대 또는 극소이고 $\alpha \geq 0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1 ,\alpha_2 , \alpha_3 ,\alpha_4 , \alpha_5 , \cdots$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\alpha_1 =0$이고 $\displays..

풀이 먼저 $y=g(x)$의 그려 보자. $g^{\prime}(x)=-2x^3 (x-4)=0$에서 $x=0$과 $x=4$에서 극솟값과 극댓값을 가진다.$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0}$이므로 그래프 개형은 아래와 같다. 4차함수 그래프 개형을 생각해 보면 최솟값이 극솟값임을 쉽게 알 수 있다. $x=\alpha$에서 최솟값 $0$을 가진다고 하자. $$f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)=0$$따라서 $\alpha$는 방정식 $f(x)=0$의 이중근임을 알 수 있다. 이중근을 하나만 가진다면 (가)에서 방정식 $h(x)=f(g(x))=0$는 많아야 근이 3개이므로 또 다른 이중근($\beta$)이 있어야 한다. 정리하면 함수 $f(x)$는..

21. 양수 $t$에 대하여 구간 $[1,\infty)$에서 정의된 함수 $f(x)$가 $$f(x) = \begin{cases} \ln x & \quad (1 \leq x < e)\\ -t+\ln x & \quad (x \geq e) \end{cases}$$ 일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 $g(x)$ 중에서 직선 $y=g(x)$의 기울기의 최솟값을 $h(t)$라 하자. $1$ 이상의 모든 실수 $x$에 대하여 $(x-e)\{g(x)-f(x)\}\geq 0$이다. 미분가능한 함수 $h(t)$에 대하여 양수 $a$가 $\displaystyle{h(a)=\frac{1}{e+2}}$을 만족시킨다. $\displaystyle{h^{\prime}\bigg(\frac{1}{2e}\bigg)\times h^..

29번. 한 모서리의 길이가 4인 정사면체 ABCD에서 삼각형 ABC의 무게중심을 O, 선분 AD의 중점을 P라 하자. 정사면체 ABCD의 한 면 BCD 위의 점 Q에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{OQ}$와 $\overrightarrow{OP}$가 서로 수직일 때, $|\overrightarrow{PQ}|$의 최댓값은 $\displaystyle{\frac{q}{p}}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.(단, $p,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점] 3차원 공간벡터 문제이다. 그러므로 임의의 벡터를 일차결합으로 표현하려면 서로 평행하지 않은 3개의 기본벡터(basis)가 필요하다. 직육면체 문제라면 기본단위벡터로 간단하게 해결할 수 있지만 정사면체이므로 계산이 쉽지 않다. 따라서 정사..