수학과 사는 이야기

수학책에서 자주 만나는 용어인 '변수'를 정리해 둔다. 맨 아래에 연결한 위키백과를 참고하여 정리한 글이다. 중학교와 고등학교 수준에서 이해할 수 있도록 쓰려고 했으나 일부분은 조금 벗어난 감이 있다. 결론부터 미리 정리하자면 문자는 모두 변수이고 변수가 하는 역할에 따라 여러 가지 다른 이름으로 불린다는 것이다. 정의 변수는 다양한 값이나 양을 넣을 수 있는 빈자리를 나타내는 기호이다. 종종 주어진 집합에 있는 임의의 원소를 나타낼 때 쓴다. 변수는 수뿐만 아니라 벡터, 행렬과 함수를 나타낼 때도 쓴다. 말뿌리 "Variable" 은 라틴어 variābilis에서 왔다. "vari(us)"'는 "다양한 various"이고 "-ābilis"'는 "가능한 -able"이므로 "여러 값을 가질 수 있는"을 뜻..

역함수의 성질을 활용하여 부정적분을 해보자. 지수함수 $f(x)=e^x$의 역함수는 $f^{-1}(x)=\ln x$이다. $$\int f^{-1}(x) dx=\int \ln x dx$$에서 $x=e^t$으로 치환하면 $\displaystyle{\frac{dx}{dy}=e^y}$이므로 주어진 부정적분은 $$=\int y e^y dy=y e^y -\int e^y dy=y e^y -e^y +C=x\ln x-x+C$$이다. 정리하자면 아래와 같이 역함수로 치환하고 부분적분을 써서 부정적분을 구한다. $$\int f^{-1}(x) dx=\int f^{-1}(f(y))f^{\prime}(y)dy=\int x f^{\prime}(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy$$ 함수 $y=\tan^{-1} x$의 부정적분..

17 세기 수학자들은 지구 위나 가까운 곳에 있는 물체의 운동에 흥미를 가졌다. 이 연구는 어떤 순간에서 물체의 속력과 방향과 관련 있다. 그들은 운동 방향이 움직이는 경로의 접선임을 알아냈다. 극한 개념은 물체의 속도와 곡선의 접선을 찾는데 기본이 된다. 이 장에서는 처음엔 직관적으로 나중에 엄밀하게 살펴보자. 함수의 변화를 기술하는데 극한을 사용한다. 어떤 함수는 $x$의 작은 변화에 $f(x)$도 작게 변화하는 연속적인 변화와 다르다. 함숫값이 건너뛰거나 아주 변덕스럽거나 한 없이 커지거나 작아진다. 극한 표현은 이런 행동을 구별하는 엄밀한 방법을 제공한다. Definition The average rate of Change of $y=f(x)$ with respect to $x$ over the ..

미분은 도함수는 구하는 일이다. 도함수는 아래와 같이 정의하였다. $$f ^{\prime} (x) =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ 복잡한 함수는 간단한 함수를 연산하거나 합성하여 만들어진다. 이제 정의를 바탕으로 합성함수를 미분해보자. 합성함수의 미분 함수 $y=(1+x^3)^4$는 복잡하다. 이 함수는 두 함수 $f(u)=u^4$, $u=1+x^3$가 합성된 것으로 생각하자. 두 함수 $y=f(u), \;\;u=g(x)$가 모두 미분가능하다고 하자. $ y=f(g(x))$의 도함수는 정의에 따라 아래와 같다. $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta ..

수학에서 두 집합 사이의 원소를 관련짓도록 하는 개념을 쓸 때가 많다. 학생들 시험 점수를 매기는 일을 예로 들면 학생을 출석 번호로 나타내면 집합 $S=\{1,2,3 \}$의 원소에 집합 $\{A,B,C,D\}$의 원소를 하나씩 연결하는 것이다. 이러한 대응이 바로 함수이다. 함수는 때로 사상(mapping) 또는 변환(transformation)으로 부른다. 참고 함수의 역사 $A$와 $B$가 집합이라고 하자. $A$로부터 $B$로의 함수 $f$는 $A$의 원속 각각에 $B$의 원소를 단 하나만 대응시킨 것이다. 함수는 $f(a)=b$와 같이 적고 이것은 원소 $a$에 함수 $f$에 의해 대응된 원소가 $b$임을 나타낸다. 엄밀한 함수의 정의는 아래와 같다. 정의 1 두 집합 $X$와 $Y$의 원소 ..