모든 삼각형은 무게중심을 가지는가?

삼각형에서 무게중심은 세 중선이 만나는 점이다. 평행이 아닌 두 직선은 무조건 한 점에서 만나지만 세 직선은 반드시 한 점에서 만난다는 보장이 없다. 다르게 말하면 세 중선은 반드시 한 점을 공유한다는 사실은 증명해야 하는 것이다.

먼저 아래 그림과 같이 삼각형 $ABC$의 세 변의 중점을 각각 $D,E,F$라고 하자.

두 중선 $AE$와 $CD$가 만나는 점을 $G$라고 하자. 이제 직선 $BG$가 나머지 중선임을 보이면 된다.

다시 말하면 직선 $BG$가 변 $AC$와 만나는 점을 $F$라고 하면 $\overline{AF}=\overline{FC}$임을 보이면 된다.

먼저 선분 $FD$를 생각하자. 중점 연결 정리에 따라 아래가 성립한다.

$$\overline{FD}//\overline{BC},\;\;\; \overline{FD}=\frac{1}{2}\overline{BC} $$

따라서 두 삼각형 $GFD$와 $GBC$는 서로 닮음이다.

$$\overline{FD}:\overline{BC}=\overline{FG}:\overline{GB}=\overline{DG}:\overline{GC}=1:2\tag{1}$$

일단 정리하면 점 $G$는 두 중선 $AE$와 $CD$를 $2:1$로 내분하는 점이다. 

 

다음으로 두 점 $D$, $E$를 지나고 직선 $BF$와 평행한 직선이 다른 직선과 만나는 점을 각각 $H,I,J,K$라고 하자.

중점 연결 정리에 따라 

$$\overline{AJ}=\overline{JF},\;\;\overline{AK}=\overline{KG}\tag{2}$$

$$\overline{CH}=\overline{HF},\;\;\;\overline{CI}=\overline{IG}\tag{3}$$

(2), (3)에 의하여

$$\overline{GI}=\frac{1}{2}\overline{CG}=\overline{GD}\tag{4}$$

이다.

(4)에 따라 $\overline{FJ}=\overline{FH}$이므로 

$$\overline{AF}=\overline{FC}$$ 

$\blacksquare$