수학과 사는 이야기

미분방정식은 특별한 모양이 아니면 해를 구하기 무척 어렵다. 하나도 풀기 어려운데 방정식이 둘 이상이라면 더욱 어렵다. 자율 방정식 풀이법을 활용하여 둘 이상의 미분방정식을 모두 만족하는 해를 찾는 방법을 소개한다. 처음이니까 위상 평면 분석법으로 1차 미분방정식이 둘인 시스템을 이해하는 방법을 적는다. 토마스 미적분학 책 9.5에 있는 글을 옮긴 것이다. 이밖에도 570페이지 연습문제에 나오는 로카-볼테라 모델도 있다. 이 모델은 토끼와 여우처럼 사냥하는 종과 희생당하는 종이 공존할 때 개체수가 어떻게 변할까를 모델로 만든 것이다. 아래 연결 고리를 따라가면 자세한 공부를 할 수 있다. https://en.wikipedia.org/wiki/Lotka%E2%80%93Volterra_equations Lo..

자율 방정식은 변수 분리형separable이기 때문에 해를 직접 찾을 수 있는 방정식이지만 여기서는 그래프로 해를 찾는 방법을 적었다.

곡선이 이루는 각은 만나는 점에서 두 곡선에 접하는 직선이 이루는 각을 말한다. 서로 직교하는 곡선 모임(Orthogonal Trajectory)을 찾는 일은 전기장에서 일어나는 전기적 위치에너지와 관련한 물리 문제를 해결하는데 중요한 역할을 한다. 유체 역학이나 열 흐름과 관련한 문제 해결에도 필요하다.

세상 모든 것이 움직이고 있다. 꿈쩍도 하지 않는 것처럼 보이는 바위도 아주 빠르게 움직이는 지구에 붙어 있으니 당연히 같이 움직이고 있다. 움직임은 변화다. 미분은 변화를 나타내는 매우 쓸모있는 도구다. 변화가 있는 곳에 미분방정식이 있는 까닭이다. 움직임을 정확하게 파악하기 위해선 미분방정식이란 관문을 통과해야 한다.

코로나 19 확진자 숫자를 예측하는 그래프는 어떻게 찾았을까? 인구나 바이러스가 늘어나는 걸 예측하는 로지스틱 모형이 있다. 먼저 식량을 비롯한 인구 성장에 필요한 조건이 아주 좋아서 인구가 한없이 성장한다고 가정하면 인구 성장률은 인구에 비례한다. 인구는 $P$이고 단위 시간당 출생률에서 사망률을 뺀 값을 상수$k>0$로 놓자. $$\frac{d P}{d t}=k P\tag{1}$$ 이 미분방정식은 변수 분리 가능하므로 아주 간단하게 풀 수 있다. $$\frac{1}{P} dP=k dt$$ $$\ln P=kt +C$$ $$P=Ae^{kt}\quad \quad (A=e^{C})$$ 당연히 식량이나 자원은 한정되어 있으므로 인구가 지수함수로 무한하게 성장할 수 없다. 주어진 환경에서 증가할 수 있는 최대 ..