유리함수와 무리함수의 그래프

모든 함수는 그래프를 정확하게 파악했을 때 비로소 완벽하게 이해한 것이다. 학생들에게 그래프를 좌표평면에 그려보라고 하면 그 수준이 고스란히 드러난다. 아무리 개형이라도 꼼꼼하게 따져가며 그럴싸하게 그리는 학생이 있는가 하면 너무 대충 그려서 도저히 점수를 줄 수가 없는 학생이 매우 많다.

함수를 공부하는 가장 큰 목적은 변화를 다루기 위함이다. 따라서 그래프를 그릴 때도 변화에 주목하여 그려야 한다. 이때 $x$의 변화량과 $y$의 변화량의 비를 생각하면 도움이 된다. 즉, $x$가 증가할 때 $y$의 값이 증가하는가? 감소하는가? 또 그 양은 어떻게 변화하는가를 생각해야 한다는 것이다.

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

이를 위해 중학교에서 정비례와 반비례를 배운다. 다양한 변화를 쉽게 이해하기 위해 도형의 평행이동, 대칭이동을 공부한다.

만유인력의 법칙은 질량을 가진 모든 물체가 서로 끌어당기는 힘(F)이 존재한다는 법칙이다. 이 힘의 크기는 두 물체의 질량의 곱($m_1 m_2$)에 비례하고, 두 물체 사이 거리(r)의 제곱에 반비례한다. 이것을 식으로 표현하면 아래와 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

$$F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

사실 모든 함수는 항등함수 $y=x$에서 시작한다고 생각할 수 있다.

분수함수의 그래프는 쌍곡선이다.

중학교에서 $y=\dfrac{a}{x}$를 만족하면 $x$와 $y$는 반비례함을 배운다.

가장 기본이 되는 분수함수 $y=\dfrac{1}{x}$은 아래와 같은 그래프를 가진다. 이것은 [기하]에서 쌍곡선으로 다루는 곡선이다. [미적분]에서 극한을 배울 때도 매우 중요하게 쓰인다.

$x>0$일 때, $x$가 100배가 되면 $y$의 값은 $\dfrac{1}{100}$배가 된다. 따라서 $x$의 값이 한없이 커지면 $y$는 $0$에 한없이 가까워진다. $x$가 $\dfrac{1}{100}$이 되면 $y$의 값은 100배가 된다. 따라서 $x$의 값이 한없이 $0$에 가까워지면 $y$는 한없이 커진다.

만나지는 않지만 한없이 가까워지다는 뜻으로 $x$축, $y$축을 점근선(asymptote)이라고 부른다.

 

유리함수 가운데 분수함수 $k>0$일 때, $y=\dfrac{k}{x}$의 그래프는 아래와 같이 생각할 수 있다. 

상수함수 $y=k$와 반비례 함수 $y= \dfrac{1}{x}$의 함숫값을 곱해서 새로운 함수를 만든다고 볼 수 있다.

$$y=3\times \frac{1}{x}$$

 

$k<0$일 때는 대칭이동으로 생각하면 된다.

무리함수의 그래프는 포물선이다

포물선 $y=x^2$을 $y=x$에 대하여 대칭이동한 포물선은 $x=y^2$이다. 그림과 같이 $y$는 $x$의 제곱근이므로 양의 제곱근과 음의 제곱근이 있다. 즉, $y=\pm\sqrt{x}$이다.

포물선은 $x=y^2$은 함수의 그래프가 될 수 없지만 $y=\sqrt{x}$, $y=-\sqrt{x}$는 각각 함수의 그래프가 될 수 있다. 따라서 무리함수의 그래프는 결국 포물선의 일부임을 쉽게 알 수 있다.

무리함수 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$의 그래프는 무리함수 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$, $y$축의 방향으로 평행이동하여 얻을 수 있음을 쉽게 이해할 수 있다.

무리함수의 그래프는 포물선의 꼭짓점을 먼저 정하고 그래프가 뻗어가는 방향을 찾는다고 생각하면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.