고2 '대수'의 시작은 거듭제곱과 거듭제곱근

2학기 2회 고사가 끝났다. 해마다 이맘때가 되면 수업 시간에 무엇을 해야 할지 고민하게 된다. 가장 바람직한 선택은 당연히 올해 배운 내용을 차분히 복습하는 일일 것이다. 그러나 대부분의 학생들은 내년에 배울 교과 내용을 미리 공부하는 데 더 많은 힘을 쏟는다. 그러다 보니 복습 문제를 중심으로 한 수업에서는 집중도가 눈에 띄게 떨어지는 경우가 많다.

언제나 새롭고 낯선 것이 더 큰 흥미를 끌기 마련이다. 이미 지나간 내용을 다시 공부하는 데서 재미를 느끼지 못하는 학생들도 적지 않다. 하지만 막상 살펴보면, 이름만 익숙할 뿐 내용을 제대로 이해하지 못한 개념이 의외로 많다. 2022 개정 교육과정에서는 고등학교 2학년에서 ‘대수’를 배우게 된다.

대수 교과서는 지수와 로그로 시작하며, 첫 단원은 거듭제곱과 거듭제곱근이다. 고등학교 1학년 과정을 마쳤음에도 불구하고, 중학교에서 배운 제곱과 제곱근조차 정확히 이해하지 못한 채 곧바로 거듭제곱근을 공부하느라 어려움을 겪는 학생들이 적지 않다. 무작정 선행학습을 말린다고 해결될 문제는 아니기에, 대수를 공부할 때 도움이 될 만한 방법 몇 가지를 정리해 두려고 한다.

거듭제곱이란?

대수뿐만 아니라 모든 수학 나아가 모든 학문은 용어를 명확하게 정리하는 일이 무엇보다 중요하다. 모든 단원은 용어를 분명하게 밝히는 정의(definition)로 시작한다. 중학교 1학년에서 배운 거듭제곱은 아래와 같이 정의한다.

실수 $a$를 $n$번 곱한 것을 $a$의 $n$제곱이라 하고, $a^n$으로 나타낸다. 이때 $a,\;\;a^2,\;\;\cdots,\;\;a^n,\;\;\cdots$을 통틀어 $a$의 거듭제곱이라 하고, $a^n$에서 $a$를 거듭제곱의 밑, $n$을 거듭제곱의 지수라고 한다. 중학교에서 지수는 차수로 부르기도 함을 배웠다.

지수는 곱한 횟수를 뜻하므로 $n$은 당연히 개수를 세는 데 사용하는 자연수이다. 따라서 중학교에서 지수는 모두 자연수이고, 다음과 같은 지수법칙이 성립함을 배웠다.

$$a^m a^n =a^{m+n}\tag{1}$$

$$(a^m)^n =a^{mn}\tag{2}$$

$$(ab)^n =a^n b^n\tag{3}$$

$$\bigg(\dfrac {a}{b} \bigg)^n =\dfrac{a^n}{b^n}\tag{4}$$

$$a^m \div a^n=\cases{a^{m-n}\quad (m>n)\\1\quad \quad (m=n)(a\not=0)\\ \dfrac{1}{a^{n-m}}\quad (m<n)}\tag{5}$$

정의를 분명하게 파악했다면 굳이 증명할 것도 없이 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 하지만 어떤 학생은 그냥 외우기만 하는 공식으로 여기기 때문에 뜻을 이해하지 못한다. 아래와 같은 과정을 거치는 걸 단숨에 알아채야 하는 것이다. 

$$(a^2)^3=a^2a^2a^2=a^{2+2+2}=a^{2\cdot 3}=a^6$$

중학교 교육과정을 잠깐 되짚어 보고 가자.

제곱근과 제곱근의 성질

제곱하여 실수 $a$가 되는 수, 즉 $x^2=a$를 만족시키는 수 $x$를 $a$의 제곱근이라 한다. $a>0$일 때 $a$의 제곱근은 항상 양수와 음수인 것이 각각 하나씩 총 2개가 있다.

$$x^2 =4\quad \Rightarrow \quad x=\pm 2$$

$2$의 제곱근은 분명히 존재하지만 이전에 있던 수로 표현할 수 없다. 이 과정에서 우리는 새로운 기호를 배웠다.

$$x^2 =2\quad \Rightarrow \quad x=\pm \sqrt 2$$

따라서 보통 방정식 $x^2=a$의 해는 제곱근을 나타내는 기호인 $\sqrt{\quad}$를 써서 $x=\pm\sqrt a$로 적는다고 배웠다. 여기까지 알면 충분히 알고 있는 것일까? 

$a$의 제곱근과 제곱근 $a$는 같은 말일까? 당연히 다른 말이다. $a$의 제곱근은 $\pm\sqrt a$를 통틀어 부르는 말이고 제곱근 $a$는 $\sqrt a$만 따로 부르는 말이다. 이것도 사실은 정확하게는 양의 제곱근 $a$라고 말해야 좋다. 보통 제곱근 기호 $\sqrt{\quad}$를 '루트(root)'로만 읽기만 하면 헷갈리기 쉽다.

아래가 성립하는 것은 어지간하면 알고 있다. 하지만 분명하게 설명하지 못한다면 뭔가 살짝 부족하다. 

$$\sqrt2 \times \sqrt 3 =\sqrt {2\times3} $$

왜일까? 좌변과 우변이 다른 점을 말해보자.

좌변은 제곱근 2와 제곱근 3을 곱한 것이다. 우변은 2와 3을 곱한 6의 양의 제곱근이다.

다시 말하면 제곱근을 먼저 구하고 곱셈을 한 것은 곱셈을 먼저 하고 제곱근을 구한 것과 같음을 보여야 한다.

제곱근으로 표현한 수도 당연히 다른 수와 마찬가지로 곱셈에서 교환법칙과 결합법칙이 그대로 성립해야 한다.

1) 먼저 두 수 $\sqrt2$와 $\sqrt3$은 모두 양수이므로 두 수의 곱은 양수이다.

2) 아래와 같이 두 수의 곱 $\sqrt 2 \times \sqrt 3$을 제곱하면 6이 된다.

$$\begin{split} (\sqrt2 \times \sqrt 3 )^2 &=( \sqrt2 \times \sqrt 3 )\times ( \sqrt2 \times \sqrt 3 )\\&= \sqrt2 \times \sqrt 3 \times \sqrt2 \times \sqrt 3 \\&=(\sqrt2\times\sqrt2)\times(\sqrt 3\times\sqrt 3) \\&=\sqrt{2}^2\times \sqrt{3}^2 \\&=6\end{split}$$

$\sqrt 2 \times \sqrt 3$은 제곱해서 6이 되는 양수이므로 6의 양의 제곱근인 $\sqrt{6}$이다.

제곱근의 곱셈

일반적으로 $a>0,\;\; b>0$일 때, $\sqrt a \sqrt b =\sqrt{ab}$임을 보여라.

1) 두 수 $\sqrt a ,\sqrt b$가 모두 양수이므로 두 수의 곱은 양수이다.

$$\sqrt a \sqrt b>0$$

2) 두 수의 곱인 $\sqrt a \sqrt b$가 $ab$의 제곱근임을 보이자.

$$\begin{split} (\sqrt a \times \sqrt b )^2 &=( \sqrt a \times \sqrt b )\times ( \sqrt a \times \sqrt b )\\&= \sqrt a \times \sqrt b \times \sqrt a \times \sqrt b \\&=(\sqrt a\times\sqrt a)\times(\sqrt b\times\sqrt b) \\&=\sqrt{a}^2\times \sqrt{b}^2 \\&=ab\end{split}$$

1), 2)에 따라서 $\sqrt a \sqrt b$는 $ab$의 양의 제곱근인 $\sqrt{ab}$와 같다.

$$\sqrt a \sqrt b=\sqrt{ab}\tag{1-1-1}$$

이제 아래와 같이 제곱근의 곱셈을 계산할 수 있다.

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{2}{3}\times\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$

좌변 $\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{3}}}$와 $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{8}}}$은 모두 무리수이므로 순환소수가 아닌 무한소수이다. 이 두 수를 곱하는 일은 복잡함을 너머 불가능하다. 하지만 유리수 곱셈을 먼저함으로써 간단하게 해결할 수 있다.

제곱근의 나눗셈

제곱근의 나눗셈도 마찬가지다. 교과서에 아주 잘 정리되어 있지만 대부분 별로 신경 쓰지 않는다. 그저 계산만 연습하는 것으로는 부족하다. 이런 부분을 잘 따져서 이해하려고 힘써야 훗날 고등학교 수학을 쉽게 이해할 수 있다. 요점만 정리된 것만으로 공부하다 보면 수학 공부에 커다란 구멍이 생기게 된다.

마찬가지로 $a>0,\;\; b>0$일 때

1)

$$\sqrt a >0,\;\sqrt b >0\;\;\implies\;\;\frac{\sqrt a}{ \sqrt b}>0$$

2)

$$\begin{split} \bigg(\frac{\sqrt a}{  \sqrt b} \bigg)^2 &= \frac{\sqrt a}{  \sqrt b} \times  \frac{\sqrt a}{  \sqrt b} \\&=\frac{ \sqrt a \times \sqrt a }{\sqrt b \times \sqrt b} \\&=\frac{\sqrt{a}^2}{\sqrt{b}^2} \\&=\frac{a}{b}\end{split}$$

1), 2)에 따라 아래와 같은 등식이 성립한다.

$$\frac{\sqrt a}{ \sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\tag{1-1-2}$$

 

거듭제곱근이란?

제곱하여 실수 $a$가 되는 수, 즉 $x^2=a$를 만족시키는 수 $x$를 $a$의 제곱근, 세제곱하여 실수 $a$가 되는 수, 즉 $x^3=a$를 만족시키는 수 $x$를 $a$의 세제곱근이라고 한다.

일반적으로 실수 $a$와 2 이상인 자연수 $n$에 대하여 방정식 

$$x^n=a\tag{6}$$

를 만족시키는 수 $x$를 $a$의 $n$ 제곱근이라고 한다. 또 $a$의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, $\cdots$를 통틀어 $a$의 거듭제곱근이라고 한다.

중학교와 달리 고등학교에선 방정식의 해는 복소수 범위까지 생각한다. 따라서 (6)의 해인 $a$의 $x$ 제곱근은 허수인 것도 있다. 예를 들어 보자.

$$x^3 =8$$

$$x^3 -8=(x-2)(x^2 +2x+4)=0$$

$$x=2,\;\;x=-1\pm\sqrt 3 i$$

따라서 8의 세제곱근은 $x=2,\;\;x=-1\pm\sqrt 3 i$로 3개가 있다. $a(\not=0)$의 $n$ 제곱근은 $n$개가 있다. 고등학교 과정에선 거듭제곱근 가운데 주로 실수인 것을 다루게 된다. 이것은 고등학교 과정에서는 변수가 실수인 함수만 다루기 때문이라고 생각하면 된다.

예를 들면 방정식 $x^3 =8$의 실근은 함수 $y=x^3$에서 함숫값이 $8$인 정의역(실수)의 원소를 찾는 것으로 또는 두 함수  $y=x^3$와 $y=8$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표를 구하는 것으로  해석할 수 있다.

아래와 같은 방정식을 생각해 보자.

$$x^3=2$$

그래프를 그려보면 자연스럽게 2의 세제곱근은 실수인 것 1개와 허수인 것 2개가 있음을 알 수 있다. 그러나 그 수를 분명하게 나타낼 수 없다. 이제 새로운 기호를 도입할 때가 되었다.

함수 $y=x^n$의 그래프

 

임의의 자연수 $n$과 $k$에 대하여 아래에 있는 성질이 성립한다.

$$0<x<1\quad \implies \quad x>x^2>x^3>x^4>\cdots\tag{2-1-1}$$

$$x>1\quad \implies\quad x<x^2<x^3<x^4<\cdots\tag{2-1-2}$$

$$n=2k\quad \implies \quad (-x)^n=x^n\tag{2-1-3}$$

$$n=2k-1\quad \implies \quad (-x)^n=-x^n\tag{2-1-4}$$

함수 $y=x^n$에서 지수가 짝수일 때는 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이고 홀수일 때는 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 이런 성질을 따라 함수 $y=f(x)$가 $f(x)=f(-x)$를 만족시켜서 그래프가  $y$축에 대하여 대칭인 함수를 짝수 함수(even function), $f(x)=-f(-x)$를 만족시켜서 그래프가 원점에 대하여 대칭인 함수를 홀수 함수(odd function)라고 부른다.

실수인 거듭제곱근

$n$이 2 이상인 자연수일 때, 실수 $a$의 $n$제곱근 가운데 실수인 것은 방정식 $x^n=a$의 실근이므로 함수 $y=x^n$의 그래프와 직선 $y=a$의 교점의 $x$좌표와 같다.

$n$이 홀수일 때

함수 $y=x^n$의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고 일대일대응이다. 따라서 함수의 그래프는 직선 $y=a$와 $a$의 값에 관계없이 한 점에서 만난다. 따라서 실수인 $a$의 $n$제곱근은 하나뿐이고 기호로 아래와 같이 적는다.

$$\sqrt[n]{a}$$

참고: 거듭제곱과 마찬가지로 거듭제곱근을 읽을 때 기수(cardinal number)로 읽어야 한다. 따라서 서수(ordinal number)이제곱근, 삼제곱근, 사제곱근이 아니라 제곱근, 세제곱근, 네제곱근이라고 읽어야 한다. 영어로 'three root'가 아니라  'third root'로 읽어야 한다. 따라서 $\sqrt[n]{a}$는 'n-th root a'로 읽는다. 이런 까닭에 그냥 우리말로 '엔제곱근 에이'로 읽는 것이 낫다.

$n$이 짝수일 때

함수 $y=x^n$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이고 $y\geq 0$이다.

1) $a>0$일 때 함수의 그래프와 직선 $y=a$의 교점은  2개이다. 따라서 실수인 $a$의 $n$제곱근은 양수와 음수 각각 한 개씩 있는데 기호로 아래와 같이 적는다.

$$\sqrt[n]{a},\;\;-\sqrt[n]{a}$$

2) $a=0$일 때 함수의 그래프와 직선 $y=a$는 $x=0$인 점에서 접한다. 즉, $\sqrt[n]{0}=0$.

3) $a<0$일 때 함수의 그래프와 직선 $y=a$는 만나지 않는다. 즉, 실수인 $a$의 $n$제곱근은 없다.

표로 정리하면 아래와 같다.

	$a>0$	$a=0$	$a<0$
$n$이 홀수	$\sqrt[n]{a}$	$0$	$\sqrt[n]{a}$
$n$이 짝수	$\sqrt[n]{a}$, $-\sqrt[n]{a}$	$0$	없다.

 

거듭제곱근의 성질

위에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 정리하는 것을 보였으므로 이제 아래에 있는 거듭제곱근의 성질을 쉽게 보일 수 있을 것이다.

$a>0$, $b>0$이고 $m,\;n$은 2 이상인 자연수일 때

$$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\tag{2-3-1}$$

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\tag{2-3-2}$$

$$(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^m}\tag{2-3-3}$$

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\tag{2-3-4}$$

위에 있는 네 가지 성질을 쉽게 증명할 수 있다면 선행학습을 할 자격이 충분하다. 어쩌면 스스로 공부하는 것이 더 나은 학생일 수도 있다. 증명이 쉽게 되지 않는다면 역시 아직은 때가 아닌 것이다. 공통수학을 열심히 복습하는 것이 바람직하다.