로그의 뜻과 성질::::수학과 사는 이야기

존 네이피어(John Napier, 1550–1617, 스코틀랜드)는 이론 수학자라기보다는 계산의 효율을 혁신한 인물이었다. 그는 등비수열의 계산을 등차수열로 바꾸는 로그를 고안함으로써 수학사에 자신의 이름을 남겼다.

로그(log)는 logarithm의 줄임말로, 그리스어 logos(비, 비례)와 arithmos(수)가 결합된 말이다. 네이피어의 로그는 기하적으로 정의되어 계산 과정이 다소 복잡했지만, 오늘날에는 지수함수의 역함수로 정식화되어 상용로그와 자연로그로 나뉘며 훨씬 간결하고 명확하게 사용된다.

참고: 네이피어 로그

로그란 무엇일까?

$a>0,\;\;a\not=1$일 때, 양수 $N$에 대하여

$$a^x=N$$

을 만족시키는 실수 $x$는 오직 하나 존재한다. 이 실수 $x$를 기호로 $x=\log_a N$과 같이 나타내고, $a$를 밑으로 하는 $N$의 로그라고 한다. 이때 $N$은 $x=\log_a N$의 진수라고 한다.

$a>0,\;\;a\not=1$일 때, 양수 $N$에 대하여
$$a^x=N \iff \;\;x=\log_a N$$

참고: '$a$를 밑으로 하는 $N$의 로그'로 조금 길게 느껴지므로 보통 '로그 a의 N'으로 읽는다. 별다른 언급이 없어도 밑과 진수의 조건을 만족한다고 생각한다. 지수방정식의 해이므로 $a$를 거듭제곱하여 $b$가 나오게 하는 수라고 생각하면 될 것이다. 당연히 아래와 같은 성질이 있다.

$$a^{\log_a N}=N$$

로그의 정의와 지수법칙을 이용하면 로그의 성질을 쉽게 파악할 수 있다.

$a>0,\;\;a\not=1$일 때, $a^0=1,\;\;a^1=a$에서

$$\log_a 1=0,\;\;\log_a a=1$$

또한 $M>0, \;\;N>0$일 때, $\log_a M=m,\;\;\log_a N=n$으로 놓으면 로그의 정의에 따라 $M=a^m,\;\;N=a^n$이므로

$$MN=a^m a^n=a^{m+n}$$

$$\frac{M}{N}=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

이다. 다시 정리하면

$$\log_a MN=m+n=\log_a M+\log_aN$$

$$\log_a \frac{M}{N}=m-n=\log_a M-\log_aN$$

문제 $\log_a M^k=k\log_a M$임을 확인하여라.

$a>0,\;\;a\not=1$, $M>0, \;\;N>0$일 때

$$\log_a 1=0,\;\;\log_a a=1\tag{1}$$

$$\log_a MN=\log_a M+\log_aN\tag{2}$$

$$\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_aN\tag{3}$$

$$\log_a M^k=k\log_a M\tag{4}$$

마지막으로 밑을 다른 수로 바꾸는 공식을 확인해 보자.

$\log_a b=x$, $\log_c a=y$로 놓으면 $a^x=b$, $c^y=a$이므로

$$b=a^x=(c^y)^x=c^{xy}$$

로그의 정의에 따라 $xy=\log_c b$이므로

$$\log_ab \times \log_c a=\log _cb \tag{*}$$

(*)를 아래와 같이 정리하여 밑 변환 공식이라고 부른다.

$$\log_ab=\frac{\log_c b}{\log_c a}\tag{5}$$

상용로그

실생활에서 십진법을 쓰기 때문에 밑을 10으로 하는 로그를 쓰면 편해서 자주 사용하게 된다. 이런 의미에서 밑이 10인 로그를 상용로그라고 하고 밑을 생략하여 적는다. 영어로는 common logarithm 또는 decimal logarithm이다.

$$\log_{10} N=\log N$$

상용로그의 값은 표를 찾아서 계산할 수 있다. 또한 어떤 양수의 상용로그의 값을 알면 로그의 성질을 이용하여 그 수와 숫자의 배열이 같고 소수점의 위치만 다른 양수의 상용로그의 값도 간단히 구할 수 있다.

예를 들어 $\log3.45=0.5378$임을 이용하면

$$\begin{split}\log345&=\log(100\times 3.45)=\log100+\log3.45\\&=2+0.5378=2.5378\end{split}$$

$$\begin{split}\log0.345&=\log(10^{-1}\times 3.45)=\log10^{-1}+\log3.45\\&=-1+0.5378=-0.4622\end{split}$$

상용로그를 위와 같이 나타낼 때, 정수 부분인 $2, -1$은 지표(Characteristic), 소수 부분인 $0.5378$은 가수(Mantissa)라고 부른다. 하지만 2015 개정 교육과정부터인가 용어를 공식적으로 쓰지 않는다. 다만 개정된 교과서는 위와 같이 정수 부분과 소수 부분이 하는 역할을 소개하고 있다.

용어를 쓰지 않으니 지표와 가수를 본격적으로 다루는 자릿수 문제는 이제 수능 범위에 있지 않다. 따라서 학원이나 참고서에서 다루는 지표와 가수 관련 난도가 높은 문제는 굳이 풀어볼 필요는 없다. 안 그래도 수학이 어려운 학생이 지표와 가수까지 공부하는 것은 어쩌면 시간 낭비다.

상용로그의 활용

상용로그의 값은 진수가 커질수록 증가하는 속도가 점점 완만해지는 특성을 가진다. 우리 주변의 자연 현상이나 인간의 감각 체계 중에는 자극이 커질수록 그 반응의 정도가 둔화되는 경우가 많은데, 이를 설명하는 데 상용로그가 매우 유용하다.

주요 사례는 다음과 같다.

베버-페히너의 법칙 (인간의 감각)

인간의 오감(청각, 시각, 촉각 등)은 자극의 절대적인 양보다 자극의 비율에 반응한다. 즉, 자극이 산술급수적으로 늘어나도 우리 몸은 로그함수적으로 느리게 인식한다.

소리의 세기 (데시벨, dB): 소리의 강도가 10배, 100배 커질 때 우리 귀는 이를 1단위, 2단위가 커진 것으로 느낀다. 이를 수치화한 것이 데시벨이다.
$$L = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$$
별의 밝기 (등급): 별의 등급이 1등급 차이 날 때 실제 밝기는 약 2.5배 차이가 난다. 밤하늘의 밝기를 인간이 인지하는 방식 역시 로그함수를 따른다.

부패한 물질이나 암모니아 등에서는 악취가 나는데 악취의 세기는 물질의 종류와 농도에 따라 달라진다. 공기 중의 암모니아 농도가 $x$ppm일 때, 악취의 세기를 $I$라고 하면

$$I=1.9 \log x+0.2$$

이다.

리히터 규모 (지진의 에너지)

지진의 크기를 나타내는 리히터 규모는 로그 스케일을 사용한다. 지진의 규모가 1만큼 커질 때, 지진의 진폭은 10배 커지고 에너지는 약 32배나 커진다.

식: $M = \log A + \text{C}$ (C는 상수)
규모 5와 규모 7의 차이는 단순한 숫자 2의 차이가 아니라, 진폭이 100배($10^2$) 차이 난다는 것을 의미한다.

산성도 (pH 지수)

용액 속에 수소 이온($H^+$)이 얼마나 들어있는지를 나타내는 pH 지수도 로그함수다. 수소 이온 농도는 매우 넓은 범위에 걸쳐 변하기 때문에, 이를 일상적인 숫자로 표현하기 위해 상용로그를 사용한다.

식: $pH = -\log [H^+]$
pH가 1 변할 때마다 수소 이온 농도는 10배씩 변한다.

저작자표시 비영리 변경금지 (새창열림)