정삼각형을 정사각형으로 바꾸는 퍼즐

정삼각형을 잘라서 정사각형으로 만드는 퍼즐이 있다. 겉보기는 간단하지만 이걸 만드는 과정은 그렇게 만만하지는 않다. 요즘 대수 시간에 지도하는 거듭제곱근이 등장한다. 귀찮지만 계산을 해보자.

계산을 편하게 하기 위해 정삼각형은 한 변의 길이가 2라고 하자.

삼각형의 넓이는 

$$A=\frac{1}{2}\times2\times 2\times \sin 60^{\circ}=\sqrt3$$

따라서 정사각형의 한 변의 길이 $x$는 $\sqrt3$의 제곱근이다. 고등학교 대수에서 거듭제곱근을 배웠다면 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$x^2 =\sqrt3$$

$$x=\sqrt[4]{3}$$

기하평균을 작도하는 방법으로 $\sqrt3$의 제곱근을 작도할 수 있다.

1단계. 두 점 D와 E는 각각 두 변 AC와 BC의 중점이므로 쉽게 찾을 수 있다.

2단계. 점 E를 중심으로 반지름이 1인 원을 그린다.

$\overline{AE}=\sqrt3$, $\overline{EB_1}=1$이므로 지름이 $\overline{AB_1}$인 원을 그려서 

$\overline{EF}=\sqrt[4]{3}$인 점 F를 찾을 수 있다.

기하평균을 작도하는 법

3단계. $\overline{FG}=1$인 점 G를 찾는다.

4단계. 두 점 D와 F에서 선분 EF에 수선의 발을 내려 H와 I를 찾는다.

이제 아래와 같이 회전하면 정삼각형을 정사각형으로 만들 수 있다.

 

1. 점 D를 중심으로 사각형 DAFH를 시계방향으로 180도 회전 

2. 점 E를 중심으로 삼각형 EFB를 반시계방향으로 180도 회전

점 I를 중심으로 삼각형 IFG를 반시계방향으로 180도 회전