삼각함수의 합성

삼각함수의 정의

라디안

중학교에서 배운 삼각비를 삼각함수로 확장하기 위해 각을 새롭게 정의해야 한다. 먼저 각을 실수로 나타내기 위해 호도법을 약속한다. 호도법은 radius+angle=radian이다. 직역하면 '반지름의 길이로 잰 각'이라고 할 수 있다. 그림으로 나타내면 아래와 같다. 라디안은 각을 실수로 나타낸 것이므로 단위를 쓰지 않는다.

 

$$\pi=180^{\circ}\tag{1}$$

일반각

다음으로 일반각은 아래와 같이 적는다. 

$$2n\pi+\theta\tag{2}$$

이때 $0\leq \theta <2\pi$ 또는 $-\pi \leq \theta < \pi$이다.

삼각함수의 정의

 

삼각함수는 아래와 같이 정의한다.

$$\sin \theta=\frac{y}{r},\quad\cos\theta=\frac{x}{r},\quad \tan\theta=\frac{y}{x}\tag{3}$$

이것은 각의 크기가 $\theta$ 동경이 반지름이 $r$인 원과 만나는 점의 좌표를 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$로 약속하는 것과 같은 말이다. 반지름이 1인 단위원을 생각하면 훨씬 쉽게 이해할 수 있다. 

 

이제 중학교에서 배운 삼각비를 더 확장하여 생각해야 한다. 사인이 무엇이냐는 물음에 [높이/빗변]라고 대답하지 말고 위와 같이 [y 좌표/반지름]라고 답해야 한다. 이제 자연스럽게 각이 $0^{\circ},\quad 90^{\circ}$일 때, 삼각비도 이해할 수 있다.

삼각함수의 그래프

함수를 나타낼 때, 주로 변수를 $x$로 적는다. 

반지름이 $1$인 원에서 $(1,0)$에서 출발하여 원주 위를 움직이는 점이  $x$만큼 이동한 순간 점의 위치를 생각하면 쉽게 삼각함수의 그래프를 그릴 수 있다.

$$y=\sin x$$

삼각함수의 합성

수학 공부가 기본 함수만으로 끝내도 된다면 힘들고 어려울 까닭이 전혀 없다. 하지만 아쉽게도 기초 함수를 배우면 항상 이 함수를 다른 함수와 합성하여 새로운 함수를 만드는 문제가 뒤따른다. 합성한 함수는 파악하기 어렵지만 수학이 여러 가지 문제 해결에 강력한 도구로 사용할 수 있게 해주는 고마운 존재들이다.

두 함수 $f(x)=2x$와 $g(x)=\sin x$가 주어졌을 때, 함수를 합성하여 보자. 

$$f(g(x))=2\sin x\tag{1}$$

$$g(f(x))=\sin 2x\tag{2}$$

두 함수는 당연히 서로 다른 함수이다. 다행히 일차함수는 정비례 관계이므로 매우 쉽게 이해할 수 있다.

(1)은 먼저 사인값을 구하고 2를 곱했다. 그래프는 $y$축의 방향으로 비례하는 양을 표현한다.

(2)는 각과 정비례하는 양에 대한 사인 함수값을 구하면 된다.

 

$a>0$일 때, $y=a\sin x$와 $y=\sin ax$는 아래와 같은 그래프를 가진다.

일반적으로 $y=a\sin \omega x$는 최댓값은 $|a|$, 최솟값은 $-|a|$, 주기는 $\displaystyle{\frac{2\pi}{|\omega|}}$이다. 흔히 $\omega$를 각속도로 부르기도 한다.

너무나 당연하게 두 함수 $y=\sin^2 x$와 $y=\sin x^2$은 완전히 다른 함수이다.

$f(x)=x^2,\;\;g(x)=\sin x$라고 하면 아래와 같다.

$$\sin^2 x=f(g(x)),\;\;\;\sin x^2 =g(f(x))$$

$\sin^2 x =\sin x^2$로 구별하지 않고 쓰는 일은 개념 없는 일이다.

 

이차함수와 삼각함수만 합성하여도 상당히 복잡한 함수가 나온다. 이것을 완벽하게 다루기 위해서는 미적분이 필요하지만 그래도 [대수]만 배우고 어느 정도는 변화를 상상할 수 있다. 이것이 함수를 이해하는 데 큰 도움이 된다.

$$y=\sin^2 x- \sin x +1$$

$$y=\sin^2 x- 2\cos x +1$$

그래프를 그릴 수는 없어도 적어도 최댓값과 최솟값은 구할 수 있어야 한다.

옛날에 남겼던 이야기는 아래에 있다.

https://suhak.tistory.com/167

삼각비와 삼각함수