미분계수로 접선의 방정식 구하기

미분계수는 접선의 기울기, 순간변화율과 같은 의미를 갖는다. 주어진 점에서 '미분한다'는 것은 곡선 위의 한 점에서 접선의 기울기를 구하는 일과 같기 때문이다.

곡선 $y=f(x)$ 위의 점이나 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식을 구할 때, 모든 풀이의 핵심은 접점의 좌표 $(t, f(t))$와 접선의 기울기 $f'(t)$를 찾는 데 있다.

접선의 방정식의 기본 형태는 다음과 같다.

$$y - f(t) = f'(t)(x - t)\tag{1}$$

주어진 조건에 따라 문제를 세 가지 유형으로 분류하여 정리할 수 있다.

접점의 좌표가 주어질 때

가장 기본이 되는 유형으로, 도함수로 기울기를 계산하여 공식 (1)에 바로 대입한다.

주어진 조건: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(x_1, y_1)$

1. 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구한다.

2. $x=x_1$에서의 미분계수 $m = f'(x_1)$을 계산하여 접선의 기울기를 구한다.

3. 구한 기울기와 접점을 접선의 방정식 공식에 대입한다.

$$y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1)$$

주어진 점이 '곡선 위의 점'인지 반드시 확인한다.

예제

곡선 $y = x^2 - 3x + 4$ 위의 점 $(2, 2)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

풀이

1. 도함수 구하기:

$f(x) = x^2 - 3x + 4$라 하면,

$$f'(x) = 2x - 3$$

2. 접선의 기울기 계산:

접점의 $x$좌표가 $2$이므로, $x=2$에서의 미분계수는

$$f'(2) = 2(2) - 3 = 1$$

3. 접선의 방정식 세우기:

기울기가 $1$이고 점 $(2, 2)$를 지나므로,

$$y - 2 = 1(x - 2) \implies y = x$$

정답: $y = x$

 

접선의 기울기가 주어질 때

기울기를 통해 미분방정식을 세워 접점의 좌표를 구하는 유형이다.

주어진 조건: 접선의 기울기 $m$

1. 접점의 좌표를 $(t, f(t))$로 둔다.

2. 접점에서의 미분계수가 주어진 기울기와 같다는 방정식을 세운다.

$$f'(t) = m$$

3. 방정식 $f'(t)=m$을 풀어 접점의 $x$좌표인 $t$를 구한다. (함수의 차수에 따라 $t$의 값이 여러 개 나올 수 있다.)

4. 구한 $t$를 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 $y$좌표 $f(t)$를 구한다.

5. 접점 $(t, f(t))$와 기울기 $m$을 이용해 접선의 방정식을 완성한다.

$$y - f(t) = m(x - t)$$

$f'(t)=m$의 실근의 개수만큼 접선이 존재하므로, 기울기가 같은 접선이 2개 이상 나올 수 있다.

 

예제

곡선 $y = x^3 - 3x + 1$에 접하고, 기울기가 $9$인 직선의 방정식을 구하시오.

풀이

1. 접점 및 도함수 설정:

$f(x) = x^3 - 3x + 1$이라 하면, $f'(x) = 3x^2 - 3$이다.

접점의 좌표를 $(t, f(t))$라 하자.

2. 방정식 세우기 ($f'(t) = m$):

접점에서의 기울기가 $9$이어야 하므로,

$$3t^2 - 3 = 9$$

$$3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ 또는 } t = -2$$

3. 각 접점의 좌표 구하기:

* $t = 2$일 때: $f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \implies (2, 3)$

* $t = -2$일 때: $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 \implies (-2, -1)$

4. 각각의 접선의 방정식 완성:

* 점 $(2, 3)$에서 기울기 $9$:

$$y - 3 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 15$$

* 점 $(-2, -1)$에서 기울기 $9$:

$$y - (-1) = 9(x - (-2)) \implies y = 9x + 17$$

정답: $y = 9x - 15$,  $y = 9x + 17$

곡선 밖의 한 점이 주어질 때

주어진 조건: 곡선 밖의 점 $(x_1, y_1)$

모든 접선은 방정식 (1)과 같이 표현할 수 있다. 따라서 (1)과 같은 방정식으로 표현된 직선 가운데 주어진 점을 지나는 것을 고르면 된다.

1. 접점의 좌표를 $(t, f(t))$로 잡는다.

2. 접선의 기울기는 $f'(t)$이므로, $t$에 관한 접선의 방정식을 세운다.

$$y - f(t) = f'(t)(x - t)\tag{1}$$

3. 이 접선이 주어진 점 $(x_1, y_1)$을 지나므로, $x=x_1$, $y=y_1$을 대입한다.

$$y_1 - f(t) = f'(t)(x_1 - t)$$

4. $t$에 대한 방정식을 풀어 접점의 $x$좌표인 $t$의 값을 구한다.

5. 구한 $t$를 2번 식에 대입하여 접선의 방정식을 완성한다.

구한 실수 $t$의 개수가 곧 주어진 점에서 그을 수 있는 접선의 개수가 된다.

주어진 점에서 곡선으로 접선을 긋는다고 생각하지 말고 곡선의 접선들 가운데 주어진 점을 지나는 직선을 고른다고 생각하자.

예제

점 $(0, -4)$에서 곡선 $y = x^2$에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

확인: 점 $(0, -4)$를 대입하면 $-4 \neq 0^2$이므로 곡선 밖의 점이다. 좀더 자세하게 말해보자. 아래로 볼록한 포물선 $y = x^2$은 평면은 두 영역으로 나눈다. 이때  $-4<0$이므로 주어진 점 $(0,-4)$는 두 영역 가운데 아래 쪽에 있다.

풀이

1. 접점과 도함수 설정:

$f(x) = x^2$이라 하면 $f'(x) = 2x$이다.

곡선 위의 접점을 $(t, t^2)$이라 두면, 접선의 기울기는 $f'(t) = 2t$이다.

2. $t$를 이용한 접선의 방정식 작성:

$$y - t^2 = 2t(x - t)$$

3. 지나는 점 $(0, -4)$ 대입:

이 접선이 점 $(0, -4)$를 지나므로 $x = 0$, $y = -4$를 대입한다.

$$-4 - t^2 = 2t(0 - t)$$

$$-4 - t^2 = -2t^2$$

4. $t$에 관한 방정식 풀기:

$$t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ 또는 } t = -2$$

5. 접선의 방정식 완성:

* $t = 2$일 때:

기울기 $2t = 4$, 접점 $(2, 4)$

$$y - 4 = 4(x - 2) \implies y = 4x - 4$$

* $t = -2$일 때:

기울기 $2t = -4$, 접점 $(-2, 4)$

$$y - 4 = -4(x + 2) \implies y = -4x - 4$$

정답: $y = 4x - 4$, $y = -4x - 4$

 

요약 비교

구분	주어진 조건	먼저 구해야 하는 것	방정식 설정의 핵심
유형 1	접점 $(x_1, y_1)$	기울기 $f'(x_1)$	공식에 바로 대입 $y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1)$
유형 2	기울기 $m$	접점 $(t, f(t))$	$f'(t) = m$ 방정식 풀기 $t$값 구한 후 접점 완성
유형 3	곡선 밖의 점 $(x_1, y_1)$	접점 $(t, f(t))$	$t$로 세운 접선 식에 점 대입 $y_1 - f(t) = f'(t)(x_1 - t)$

세 유형 모두 결국 접점 $(t, f(t))$과 그 점에서의 미분계수 $f'(t)$를 구하는 과정으로 귀결된다.

덧붙이기 

점의 위치(곡선 위인가? 곡선 밖에 있는가?) 파악

문제를 보자마자 점의 좌표를 식에 대입해 '위의 점(유형 1)'인지 '밖의 점(유형 3)'인지 구분하도록 하자.

접선의 개수 판별

유형 3에서 세운 $t$에 대한 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 곧 그을 수 있는 접선의 개수가 된다는 점도 명심하자.