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수학이야기/Calculus

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이변수 함수
수학이야기/Calculus 2018. 9. 4. 14:41
화학시간에 이상기체 방정식을 배운다.(P:압력 n: 양 V: 부피 R: 상수 T: 온도) $$PV=nRT$$ 기체 부피는 압력과 온도에 영향을 받는다. 이와 같이 자연 현상은 둘 이상의 변수에 의해 결정될 때가 많다. 독립변수가 둘인 함수를 정리해 둔다. 이변수 함수 실수 전체 집합을 $R$이라고 하자. 평면 위에 있는 점은 곱집합 $R\times R$의 원소로 나타낼 수 있다. $$R^2 = R\times R=\{(x,y)|x\in R,y\in R\}$$ 집합 $D\subset R^2$의 원소에 실수 $z$를 대응시키는 함수 $f:D\rightarrow R$를 $$z=f(x,y),\quad (x,y)\in D$$ 로 나타내고 $f$ 또는 $z$를 변수 $x,y$의 이변수 함수라 한다. $D$를 정의역,..
1차 선형 미분방정식
수학이야기/Calculus 2018. 6. 4. 14:19
1차 선형 미분방정식(first-order linear differential equation)은 아래와 같은 꼴로 정리되는 미분방정식이다. $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$$이 때, $P,Q$는 연속인 $x$의 함수다. $y$의 차수가 1차라서 선형으로 부른다. 만약 $\sin y$나 $e^y$와 같은 꼴이 함께 있다면 비선형이다. 1차 선형 미분방정식을 푸는 방법을 찾아보자. 왼쪽은 어떤 함수를 미분한 것인가를 찾는 것이다. $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$와 $y$가 함께 있는 꼴이 나오려면 곱의 미분법을 썼다고 생각할 수 있다. 따라서 양변에 적당한 적분인자 $v(x)$를 곱해서 적분하는 것을 생각할 수 있다. $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$..
부분적분 Integration by parts
수학이야기/Calculus 2018. 5. 10. 12:50
Exercises 8.1
수학이야기/Calculus 2018. 5. 9. 16:16
Thomas' Calculus 연습문제 풀이 8.1
쌍곡함수에서 알아두어야 할 것
수학이야기/Calculus 2018. 5. 3. 11:03
쌍곡함수를 정의했으니 써먹어야 한다. 제대로 쓰기 위해서 알아두어야 할 것을 정리해 둔다. 항등식 $$\cosh ^2 x -\sinh^2 x=1$$ $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$$ $$\cosh 2x=\cosh ^2 x +\sinh^2 x$$ $$\cosh ^2 x= \frac{1}{2}(\cosh2 x+1)$$ $$\sinh ^2 x = \frac{1}{2}(\cosh2 x-1)$$ $$\tanh ^2 x =1-sech ^2 x$$ $$\coth ^2 x =1+csch ^2 x$$ 도함수와 부정적분 $$\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x\quad\quad \int \cosh x dx=\sinh x +C$$ $$\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x\q..

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