'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (103 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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나눗셈 알고리즘
수학이야기 2015. 1. 12. 15:28
정수론에 쓰이는 나눗셈 알고리즘을 정리해 둔다. 차례가 잘 정해진 성질(Well-Ordering Property) 공집합이 아닌 자연수 집합의 모든 부분집합 $ S\subset \mathbb{N}\;(S\not=\phi)$는 최소 원소를 가진다. 다시 말하면 $\forall b\in S$에 대하여 $a\leq b$인 원소 $a$가 존재한다. 이것은 자연수가 가진 고유한 성질로 증명없이 받아들이는 공리로 생각하자. 수학적 귀납법 원리(Priciple of Mathmatical Induction) $S\subset \mathbb{N}\;\;(S\not=\phi)$에서 (1) $1 \in S$ (2) $k \in S \Rightarrow k+1\in S$ 을 만족하면 $S=\mathbb{N}$이다. 증명$S\..
무리수의 무리수 지수제곱은 무리수일까?
수학이야기 2014. 12. 24. 08:28
언뜻 생각하기에 무리수인 것 같다. 그러나 무리수가 아닌 경우가 있다는 것이 알려져 있다. 즉, $e^{\pi\sqrt{163}}$ 와 같은 수이다. $e^{\pi\sqrt{163}}$ 은 어떤 수일까? 무리수일까? 유리수일까? 정수일까? 세 무리수 $e,\pi,\sqrt{163}$이 결합된 $e^{\pi\sqrt{163}}$ 은 무리수가 아니라 정수가 된다. 사실은 얼마나 놀라운 일인가. 인도의 수학자 Srinivasa Ramanujan (1888 - 1920)이 처음으로 $e^{\pi\sqrt{163}}$ 이 정수가 될 것이라고 추측하였다. 그리고 그는 이 수의 값을 $262,537,412,640,768,743.999999\cdots$이라고 하였다. 그런 뒤 1972년에 컴퓨터로 소수점 이하 2백만 ..
수리논술_대수
수학이야기/면접논술 2014. 12. 18. 16:12
1. 다음을 증명하여라. 1) 연속하는 $n$개의 자연수들의 곱은 $n!$의 배수이다. 2) $x$가 자연수일 때, $\displaystyle{\frac{x^5}{30}+\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{3}-\frac{x}{30}}$은 자연수이다. 2. $2008!=a\times10^n$(단, $a$는 일의 자리 숫자가 $0$이 아닌 자연수)에서 $n$의 값을 구하여라. 3. 등변의 길이가 $1$인 이등변삼각형의 내접원의 넓이를 최대가 되게 하려면 밑변은 얼마로 해야 하는가 구하여라. 4. 양의 실수 $a\;,b\;c$가 있다. 다음 부등식이 성립함을 증명하여라.$$a^a b^b c^c \geq(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$$ 5. $a>0,\;b>0,\..
수리논술_함수
수학이야기/면접논술 2014. 12. 18. 15:37
1. 아래은 6초 동안 움직인 자동차의 가속도 $a(t)$를 나타내는 그래프이다. 이 자동차 초기 속도는 $v(0)=0$이라고 할 때, 속도 $v(t)$를 나타내는 그래프를 그리고 6초 동안 이동한 거리를 구하여라. 2. 임의의 실수 $a,\;b$에 대하여 미분가능한 함수 $f(x)$가 $$\int_{a}^{b} f(x)dx=\frac{b-a}{2}\bigg(f(a)+f(b)\bigg)$$ 를 만족시킨다. $f(x)$는 어떤 함수인가? 3. 어느 버스 정류장에서 매시 0분, 15분, 35분 각 1회씩 버스가 떠난다. 한 사람이 우연히 이 정거장에 와서 버스가 떠날 때까지 기다리는 시간의 기댓값을 구하여라. 4. $2 \leq a\leq b$일 때 다음 부등식을 증명하여라. $$b^{a+1}\leq ab^..
수리논술_기하
수학이야기/면접논술 2014. 12. 18. 14:16
1. 삼각형 $ABC$의 내심 $I$를 지나는 세 직선 $AI,\;\;BI\;\;CI$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 점을 각각 $P,\;Q,\;R$이라고 하면, $I$는 삼각형 $PQR$의 수심임을 증명하여라.2. 다음 그림은 서로 접하는 직선과 세 개의 원을 그린 것이다. 가장 작은 원의 반지름의 길이를 $r$이라고 할 때, $\sqrt{r}$을 구하여라.

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