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수학이야기

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이차곡선의 접선이 가진 성질
수학이야기/기하벡터 2011. 5. 4. 12:47
1. 포물선 $y^2 =4px$ 초점에서 접점까지의 거리는 초점에서 접선이 포물선의 축과 만나는 점까지의 거리와 같다. 포물선의 접선은 초점을$F$, 접점을 $P$, 접점에서 준선에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\angle FPH$를 이등분한다. 위에 있는 그림에서 사각형 $HPFT$는 마름모이다. 결국 접선은 선분 $HF$의 수직이등분선이다. 이 사실을 이용하여 포물선을 작도할 수 있다. 참고 이차곡선의 포락선 초점에서 접선에 내린 수선의 발은 꼭짓점에서의 접선 위에 있다. 서로 수직인 접선의 교점은 포물선의 준선 위에 있다. 대수로 증명하기 포물선 $y^2=4px$에 접하는 접선 기울기가 $m$이라 하자. 접선의 방정식을 $y=mx+n$이라고 하자. $$\begin{split}(mx+n)^2 ..
정다면체는 오로지 다섯뿐이다.
수학이야기/기하벡터 2011. 5. 2. 20:44
정다면체는 오로지 다섯뿐이다. 혹시 또 다른 것이 있지 않을까 찾지는 마시라. 아주 오래 오래 전에 유클리드 선생님 다섯뿐임을 증명을 하셨다. 위키백과 영어로는 플라토닉 솔리드(Platonic solid)라고 부르는데 왜일까? 플라톤은 '티마이오스'에서 우주가 네 가지의 원소(불,공기,물,땅)로 이루어져 있다고 말하고 네 원소들을 정다면체에 대응시켜 놓았다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다. Tetrahedron Cube (or Regular hexahedron) Octahedron Dodecahedron Icosahedron (Animation) (Animation) (Animation) (Animation) (Animation) 뒤..
절대값이 들어있는 그래프
수학이야기/기하벡터 2011. 5. 2. 19:52
부등식의 영역 나타내거나 함수의 그래프를 그릴 때 절대값이 들어 있는 경우가 자주 나온다. 절대값은 원점으로부터 떨어진 거리로 정의한다. $$|x|=\cases{x\quad \quad x\geq0 \\ -x \quad \quad x
포물선 그 아름다움에 대하여
수학이야기/기하벡터 2011. 5. 2. 17:30
포물선이란 이름을 우리말로 풀어내면 물건이 날아가는 자취라고 할 수 있겠다. 추신수 선수가 친 홈런공은 바로 포물선을 그리며 담장을 넘어간다. 영어 이름 파라볼라(Parabola)도 많이 귀에 익을 것이다. 바로 위성 안테나를 부르는 이름이다. 위성 안테나를 구면이 아닌 포물면으로 만든 까닭이 바로 포물선이 가지고 있는 성질을 이용하려는 것이다. 실험보기 포물선의 대칭축과 평행하게 들어온 빛은 모두 초점으로 모아주는 성질. 초점에서 나온 빛은 모두 직진하는 성질을 이용해 자동차 전조등 안쪽을 포물면 거울로 만들기도 한단다. (원뿔곡선정리) 아르키메데스(287-212 B.C.)는 로마와 치른 전쟁에서 포물 거울로 적군의 배를 불살라버리기도 했다는 믿거나 말거나 이야기도 있다. 태양열발전소에서 사용하는 거울..
평행이동하여 정적분 구하기
수학이야기/미적분 2011. 5. 2. 13:13
정적분을 하다보면 계산이 무척 복잡하여 빨리 구하기 어려울 때가 많다. 이 때 함수를 평행이동하여 적분하면 간편하게 구할 수 있을 때가 많다. 다음 정적분의 값을 구해보자. $$\int_{-2}^{3} (x+2)(x-3)dx$$ 먼저 전개를 하면 $$\int_{-2}^{3} (x^2 -x-6)dx$$ 이 된다. 그리 어렵지는 않지만 귀찮다. 함수를 $x$축 방향으로 $2$ 평행이동하고 구간도 같이 옮겨주면 정적분 값은 같다. 따라서 $\int_{0}^{5} x(x-5)dx$의 값을 구하면 된다. 이것은 $x+2=t$로 치환한 것과 같은 의미다. 일반적으로 $$\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)dx$$ 에서 $x-\alpha=t$로 치환하면 $$a \int_{0}^..

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