'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (18 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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아름다운 포물선
수학이야기/중학수학3 2023. 5. 30. 13:35
수학은 아름답다는 말이 있다. 전혀 공감하지 못하는 이들도 많지만 공감하는 이들도 제법 많다. 내가 아니라고 남들도 다 그럴 것이라고 생각하지 말자. 수학을 가르치는 교사로서 왜 수학이 아름다운가를 묻는다면 이렇게 대답한다. 수학은 세상에서 가장 복잡한 일을 세상에서 가장 간단한 것으로 해결할 수 있도록 해주기 때문에 아름답다. 모든 수학 문제를 분해하고 나면 덧셈만 남는다. 결국 인류는 1+1=2에서 시작해서 우주의 운동 법칙을 밝히는데 이르렀다. 중학교나 고등학교 수학 교과는 복잡한 식을 간단한 식으로 만드는 과정만 안다면 끝이다. 이차함수를 보자. $$y=x^2\tag{1}$$ $$y=2x^2 \tag{2}$$ $$y=2(x-2)^2\tag{3}$$ $$y=-(x+2)^2 +1\tag{4}$$ $$..
이차함수와 평행이동
수학이야기/중학수학3 2023. 5. 26. 13:32
이차함수는 중학교 3학년 과정에 등장한다. 이차함수의 그래프인 포물선을 평행이동하는데 이것을 정확하게 설명하기가 생각보다는 어렵다. 특히 도형의 방정식을 온전하게 지도하려면 고등학교 과정이 필요하다. 선행학습으로 이미 과정을 배운 학생도 도형의 평행이동을 완벽하게 이해하지 못하는 학생이 많다. 평행이동을 중학교 수준에서 정리해 두려고 한다. 평행이동은 초등학교 4학년과 중1에서 잠깐 등장하지만 수학적으로 정의하지 않고 그냥 배운다. 일단 중학교 1학년 교과서에 있는 설명을 보자. 평행이동은 어떤 도형 위에 있는 모든 점을 일정한 방향으로 정해진 거리만큼 옮기는 것이다. 이차함수 그래프의 평행이동 중학교 1학년에서 좌표평면을 배웠으므로 이제는 $x$축 방향과 $y$축 방향을 구분하여 다룰 수 있다. $y=..
자유낙하는 이차함수
수학이야기/중학수학3 2023. 5. 22. 15:24
농구공에 전혀 힘을 가하지 않고 공중에서 떨어뜨리고 일정한 시간마다 사진을 찍어서 아래와 같은 사진을 얻었다. 이처럼 만유인력만 작용하는 낙하를 자유낙하(free fall)라고 부른다. 시간 $x$와 낙하거리 $y$ 사이의 관계를 표로 나타내면 아래와 같다. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81 함수식으로 나타내면 $y$는 $x^2$에 비례한다. $$y=x^2$$ 자유낙하는 등가속도 운동이다. 자유낙하를 조금 더 정확한 식으로 적으면 아래와 같다. (단, $g=9.8m/s^2$) $$y=\frac{g}{2}x^2\tag{1}$$ 참고: 만유인력 법칙에 따르면 중력가속도 $g$는 물체와 지구 사이 거리의 제곱에 반비례하므로 상수가 아니다. 하지만 지구 크기가 매..
방정식! 넌 누구냐?
수학이야기 2023. 5. 22. 12:27
방정식은 미지수의 값에 따라서 참 또는 거짓이 결정되는 등식이다. 어쩌면 수학은 방정식에서 시작하고 방정식에서 끝난다. 방정식에 가장 흔하게 등장하는 미지수는 $x$이다. 요즘은 MZ-세대란 말이 있듯이 옛날엔 X-세대란 말이 있었다. 1991년 더글러스 커플랜드(Douglas Coupland)는 소설 「Generation-X」(X세대)를 뉴욕에서 출판했다. 나라마다 차이가 있지만 대체로 1990년대 20대였던 1965년 이후 출생자를 말하며, 2000년대 20대인 밀레니얼-세대와 구분을 위해 1979년생까지로 정리하기도 한다. 기성세대와 구별 짓는 뜻으로 미지수와 같이 알기 어려운 세대라는 뜻으로 사용하였다. 방정식을 참이 되도록 하는 미지수를 모두 구하는 일을 방정식을 푼다고 한다. 어떤 방정식은 알..
바빌로니아의 이차방정식
수학이야기/중학수학3 2023. 5. 19. 16:25
고대 바빌로니아인이 남긴 점토판에 아래와 같은 기록이 있다. 어떤 정사각형은 넓이와 한 변의 길이를 더하면 3/4이다. 이 정사각형의 한 변의 길이를 구하면 1/2이다. 우리나라로 치면 고조선 시대를 살았던 이들이 이차방정식을 풀었다고 하니 놀랍지 않은가? 과연 그들은 어떻게 풀었을까? 점토판에는 답을 구하는 공식은 쓰여 있으나 자세한 풀이는 없다. 아래와 같은 이차방정식에서 좌변을 사각형 넓이의 합으로 해석하는 풀이를 보자. 아래는 아라비아 수학자 알콰리즈미(Al-Khwarizmi: 780?~850?)가 사용한 방법이다. 고대 바빌로니아인도 비슷한 방법으로 해결했을 것이다. $$x^2 +bx=c$$ $$x^2 +bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=c+\left(\frac{b}{2}\r..

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