'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (78 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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2017학년도 수시모집 카이스트 면접문제
수학이야기/면접논술 2018. 11. 6. 12:25
문제 1 좌표 평면 위에서 $0\leq a \leq9$인 모든 실수 $a$에 대해 두 점 $(a,0)$과 $(0,9-a)$를 잇는 선분을 모두 그렸을 때 적어도 하나 이상의 선분 위에 있는 모든 점들의 집합을 $D$라 하자. (1) 이 선분이 $(1,4)$를 지나게 될 모든 $a$를 구하여라. (2) 집합 $D$에 점 $(1,y)$가 포함될 $y$의 최댓값을 구하여라. (3) $D$가 나타내는 도형의 넓이를 구하여라. 풀이 $x,y$절편이 각각 $(a,0),(0,9-a)$인 직선의 방정식은 $$\frac{x}{a}+\frac{y}{9-a}=1$$ 이다. 그림으로 나타내면 집합 $D$는 위 그림에서 1사분면에 있는 영역이다. 먼저 1)에서 점 $(1,4)$를 지난다고 하면 $$\frac{1}{a}+\fra..
2016학년도 수시모집 카이스트 면접문제
수학이야기/면접논술 2018. 11. 6. 11:29
문제1 2이상인 자연수$n$에 대하여 $0\leq x\leq 1$에서 정의된 함수 $$f_n (x)=\frac{nx(1-x)^n}{1+(nx-1)^2}$$가 있다. 1) $\displaystyle{\frac{d}{dx}f_n(x)=0}$이 되는 $x$가 0과 1 사이에 존재함을 보이시오(2점) 2) $\displaystyle{g_n(x)=nx(1-x)^n,\;\; ,h_n(x)=\frac{1}{1+(nx-1)^2},\;\;0\leq x \leq 1}$ 이라 할 때, 함수 $g_n(x)$와 $h_n(x)$의 증가, 감소 구간을 구하시오(3점) 3) $f_n (x)$가 $x=a_n$에서 최댓값을 가진다고 하자. 문제 2)의 결과를 이용하여 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\inft..
2015학년도 수시모집 카이스트 면접문제
수학이야기/면접논술 2018. 10. 31. 11:18
문제 $1,2,4,8,\cdots$인 등비수열을 생각하자. 1) $n$항까지 수의 합을 $S_n$이라 할 때, $S_{2014}$는 얼마인가? 2) $n$항까지 수 중 5로 나누어 나머지가 1인 수만 합한 것을 $T_{n}$이라 하자. $T_{2014}$는 얼마인가? 3) $\displaystyle{\frac{T_{n}}{S_{n}}}$은 $n$이 무한대로 갈 때 수렴하겠는가? 풀이1) 주어진 수열은 첫째 항이 $1$이고 공비가 $2$이므로 합은 $S_{2014}=2^{2014}-1$2) $2^4$은 5로 나눈 나머지가 1이므로 5로 나눈 나머지가 $1$인 항은 $2^{4(m-1)}$의 꼴이다. (단 $m$는 자연수) 따라서, $n=4(k-1)+1=4k-3$일 때이다. $2014=4\times503+1$..
2019학년도 9월 평가원모의고사 30번
수학이야기/수학능력시험 2018. 9. 5. 16:23
풀이 먼저 $y=g(x)$의 그려 보자. $g^{\prime}(x)=-2x^3 (x-4)=0$에서 $x=0$과 $x=4$에서 극솟값과 극댓값을 가진다.$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0}$이므로 그래프 개형은 아래와 같다. 4차함수 그래프 개형을 생각해 보면 최솟값이 극솟값임을 쉽게 알 수 있다. $x=\alpha$에서 최솟값 $0$을 가진다고 하자. $$f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)=0$$따라서 $\alpha$는 방정식 $f(x)=0$의 이중근임을 알 수 있다. 이중근을 하나만 가진다면 (가)에서 방정식 $h(x)=f(g(x))=0$는 많아야 근이 3개이므로 또 다른 이중근($\beta$)이 있어야 한다. 정리하면 함수 $f(x)$는..
이변수 함수
수학이야기/Calculus 2018. 9. 4. 14:41
화학시간에 이상기체 방정식을 배운다.(P:압력 n: 양 V: 부피 R: 상수 T: 온도) $$PV=nRT$$ 기체 부피는 압력과 온도에 영향을 받는다. 이와 같이 자연 현상은 둘 이상의 변수에 의해 결정될 때가 많다. 독립변수가 둘인 함수를 정리해 둔다. 이변수 함수 실수 전체 집합을 $R$이라고 하자. 평면 위에 있는 점은 곱집합 $R\times R$의 원소로 나타낼 수 있다. $$R^2 = R\times R=\{(x,y)|x\in R,y\in R\}$$ 집합 $D\subset R^2$의 원소에 실수 $z$를 대응시키는 함수 $f:D\rightarrow R$를 $$z=f(x,y),\quad (x,y)\in D$$ 로 나타내고 $f$ 또는 $z$를 변수 $x,y$의 이변수 함수라 한다. $D$를 정의역,..

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