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수학과 사는 이야기

수학이야기

2018학년도 수시모집 카이스트 면접문제

수학이야기/면접논술 2018. 11. 6. 13:50

2017학년도부터는 선행학습 영향평가에서 모법답안을 공개하고 있으므로 카이스트 누리집을 보면 된다. 문제 1. 점

$(r,0)$ 를

$P$ 라 하자. 중심이 점

$P$ 이고 반지름이 1인 원에 접하면서

$(0,0)$ 을 지나는 두 직선을 각각

$l_1 ,l_2$ 라 하자. (1) (2점) 두 직선

$l_1 ,l_2$ 가 이루는 각을

$\theta$ 라 하자.

$r=4$ 인 경우

$\sin\theta$ 의 값을 구하시오. (2) (3점) 고정된

$r$ 에 대하여 점

$P=(r,0)$ 와 직선

$l_1$ 위의 점

$A$ , 직선

$l_2$ 위의 점

$B$ 로 이루어진 삼각형

$ABP$ 의 둘레가 최소가 될 때 길이를

$a_r$ 이라 하자. 이때,

$a_2 a_3 a_4\cdots a_8$ 의 값을 구하시오. (1) 그림에서 $$\angl..

2017학년도 수시모집 카이스트 면접문제

수학이야기/면접논술 2018. 11. 6. 12:25

문제 1 좌표 평면 위에서

$0\leq a \leq9$ 인 모든 실수

$a$ 에 대해 두 점

$(a,0)$ 과

$(0,9-a)$ 를 잇는 선분을 모두 그렸을 때 적어도 하나 이상의 선분 위에 있는 모든 점들의 집합을

$D$ 라 하자. (1) 이 선분이

$(1,4)$ 를 지나게 될 모든

$a$ 를 구하여라. (2) 집합

$D$ 에 점

$(1,y)$ 가 포함될

$y$ 의 최댓값을 구하여라. (3)

$D$ 가 나타내는 도형의 넓이를 구하여라. 풀이

$x,y$ 절편이 각각

$(a,0),(0,9-a)$ 인 직선의 방정식은

xa+y9−a=1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mi>x</mi><mi>a</mi></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mi>y</mi><mrow><mn>9</mn><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

이다. 그림으로 나타내면 집합

$D$ 는 위 그림에서 1사분면에 있는 영역이다. 먼저 1)에서 점

$(1,4)$ 를 지난다고 하면 $$\frac{1}{a}+\fra..

2016학년도 수시모집 카이스트 면접문제

수학이야기/면접논술 2018. 11. 6. 11:29

문제1 2이상인 자연수

$n$ 에 대하여

$0\leq x\leq 1$ 에서 정의된 함수

fn(x)=nx(1−x)n1+(nx−1)2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>f</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>n</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mi>n</mi></msup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math>

가 있다. 1)

$\displaystyle{\frac{d}{dx}f_n(x)=0}$ 이 되는

$x$ 가 0과 1 사이에 존재함을 보이시오(2점) 2)

$\displaystyle{g_n(x)=nx(1-x)^n,\;\; ,h_n(x)=\frac{1}{1+(nx-1)^2},\;\;0\leq x \leq 1}$ 이라 할 때, 함수

$g_n(x)$ 와

$h_n(x)$ 의 증가, 감소 구간을 구하시오(3점) 3)

$f_n (x)$ 가

$x=a_n$ 에서 최댓값을 가진다고 하자. 문제 2)의 결과를 이용하여 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\inft..

2015학년도 수시모집 카이스트 면접문제

수학이야기/면접논술 2018. 10. 31. 11:18

문제

$1,2,4,8,\cdots$ 인 등비수열을 생각하자. 1)

$n$ 항까지 수의 합을

$S_n$ 이라 할 때,

$S_{2014}$ 는 얼마인가? 2)

$n$ 항까지 수 중 5로 나누어 나머지가 1인 수만 합한 것을

$T_{n}$ 이라 하자.

$T_{2014}$ 는 얼마인가? 3)

$\displaystyle{\frac{T_{n}}{S_{n}}}$ 은

$n$ 이 무한대로 갈 때 수렴하겠는가? 풀이1) 주어진 수열은 첫째 항이

$1$ 이고 공비가

$2$ 이므로 합은

$S_{2014}=2^{2014}-1$ 2)

$2^4$ 은 5로 나눈 나머지가 1이므로 5로 나눈 나머지가

$1$ 인 항은

$2^{4(m-1)}$ 의 꼴이다. (단

$m$ 는 자연수) 따라서,

$n=4(k-1)+1=4k-3$ 일 때이다.

$2014=4\times503+1$ ..

2019학년도 9월 평가원모의고사 30번

수학이야기/수학능력시험 2018. 9. 5. 16:23

풀이 먼저

$y=g(x)$ 의 그려 보자.

$g^{\prime}(x)=-2x^3 (x-4)=0$ 에서

$x=0$ 과

$x=4$ 에서 극솟값과 극댓값을 가진다.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0}$ 이므로 그래프 개형은 아래와 같다. 4차함수 그래프 개형을 생각해 보면 최솟값이 극솟값임을 쉽게 알 수 있다.

$x=\alpha$ 에서 최솟값

$0$ 을 가진다고 하자.

f (α) = f' (α) = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>α</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mi>f</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-alternate="1">'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>α</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

따라서

$\alpha$ 는 방정식

$f(x)=0$ 의 이중근임을 알 수 있다. 이중근을 하나만 가진다면 (가)에서 방정식

$h(x)=f(g(x))=0$ 는 많아야 근이 3개이므로 또 다른 이중근(

$\beta$ )이 있어야 한다. 정리하면 함수

$f(x)$ 는..

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