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수학이야기

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1차 선형 미분방정식
수학이야기/Calculus 2018. 6. 4. 14:19
1차 선형 미분방정식(first-order linear differential equation)은 아래와 같은 꼴로 정리되는 미분방정식이다. $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$$이 때, $P,Q$는 연속인 $x$의 함수다. $y$의 차수가 1차라서 선형으로 부른다. 만약 $\sin y$나 $e^y$와 같은 꼴이 함께 있다면 비선형이다. 1차 선형 미분방정식을 푸는 방법을 찾아보자. 왼쪽은 어떤 함수를 미분한 것인가를 찾는 것이다. $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$와 $y$가 함께 있는 꼴이 나오려면 곱의 미분법을 썼다고 생각할 수 있다. 따라서 양변에 적당한 적분인자 $v(x)$를 곱해서 적분하는 것을 생각할 수 있다. $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x)$..
#9 1차 미분방정식(First-Order Differential Equations)
수학이야기/미적분 2018. 5. 29. 14:54
미리보기 우리가 실제로 만나는 많은 문제는 수학 공식으로 만들려 하면 미분방정식이 세워진다. 앞 선 단원에서 직선 위 운동, 인구 성장, 방사성 원소 붕괴, 낮은 온도의 매개체에 놓인 물체가 냉각되는 현상을 공부하였다. 4.8 단원에서 $dy/dx=f(x)$와 같은 꼴을 소개하였다. 함수 $f$가 연속인 구간이 있다면 바로 적분하여 $y=\int f(x)dx$ 일반해를 구할 수 있다. 다음으로 7.2 단원에서 $dy/dx=f(x,y)$과 같은 꼴인 미분방정식을 공부했다. 여기서 $x$는 독립변수이고 $y$는 종속변수이며 두 변수를 따로 떼어 놓을 수 있는 분리형(Separable) 문제를 배웠다. 9 장에서는 1차 미분방정식(일계 도함수만 포함된)이지만 조금 더 확장된 꼴을 공부한다. 간단한 전기 회로(..
csch^{-1}u 미분과 적분
수학이야기/미적분 2018. 5. 18. 15:59
하이퍼볼릭 함수도 귀찮은데 역함수를 미분하고 적분하는 것은 더욱 귀찮다. 그래도 차근차근 하면 쉬운데 그냥 외우려다 보면 많이 어렵다. 절댓값이 나오는 까닭을 묻는 학생이 있어서 올려둔다.먼저 $csch^{-1} u$는 역함수 미분법으로 도함수를 찾을 수 있다. 제곱근을 푸는 과정에서 부호를 생각해 보면 절댓값이 나오는 까닭을 확인할 수 있다.
Exercises 8.8
수학이야기/미적분 2018. 5. 18. 14:33
Exercises 8.5
수학이야기/미적분 2018. 5. 14. 22:47
오타가 많아서 새로 쳤다. 31 $$\int\frac{2\theta^3 +5\theta^2 +8\theta+4}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta$$ $$=\int\frac{(\theta^2 +2\theta^2 +2)(2\theta+2)-\theta^2}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta$$ $$=\int\frac{2\theta+2}{\theta^2 +2\theta+2}d\theta-\int\frac{\theta^2}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta$$ $$=\ln(\theta^2 +2\theta+2)-\int\frac{\theta^2 +2\theta+2-(2\theta+2)}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta..

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