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미적분을 향한 공격
수학이야기/미적분 2023. 6. 30. 14:14
수학 시간엔 쓰지 않지만 물리 시간엔 많이 쓰는 개념이 있다. 바로 무한소란 개념이다. 극한을 배우지 않은 고등학교 1학년 학생에게 뉴턴의 운동법칙과 같은 물리를 설명하기 위해 필요한 모양이다. 하지만 이 때문에 극한을 배우고 난 다음에도 무한소의 개념을 적용하려 들다가 모순에 빠지는 학생이 있다. 무한소와 극한은 서로 양립할 수 없는 개념이다. 물론 대부분은 문제를 모르고 지나간다.무한소가 지닌 헛점어떤 분야이든 처음 시작할 때는 구멍이 있기 마련이다. 뉴턴과 라이프니츠의 연구에도 빈틈은 많았다. 그 가운데 하나가 바로 '무한소'라는 개념이다. 라이프니츠는 1680년경 '무한소'라는 개념을 사용했다. 뉴턴도 탐탁지 않았지만 1665년에 쓴 원고에서 무한소의 개념을 사용했다.무한소라는 개념을 기하학적으로..
진자 운동을 해석하는 미분방정식
수학이야기/Calculus 2023. 6. 30. 11:19
뉴턴과 라이프니츠 덕택에 우리는 변하는 양을 제대로 다룰 수 있게 되었다. 또한 많은 기호의 발명으로 말로는 아주 길게 설명해야 할 것을 아주 간결하게 나타낼 수 있게 되었다. 물론 수학의 언어로 쓴 식을 누구나 쉽게 해석할 수 없는 것이 문제다. 세상 모든 변하는 것은 함수로 나타낼 수 있다. 변하는 비율은 미분방정식으로 나타낼 수 있다. 따라서 오늘날은 어떤 분야이든 미분방정식이 지배하는 시대다. 과학에서 아주 오래된 탐구 과제인 진자운동이 있다. 이것을 미분방정식으로 나타내고 해를 구해 보기로 하자. 보기엔 간단한 운동이지만 막상 들여다 보면 이해하기 쉽지 않다. 진자는 원둘레를 따라서 움직인다. 변하는 양을 살펴보자. 시각에 따라 각이 변할 것이다. 시간을 $t$로 각은 $\theta$라고 하자...
제발! 구구단 무턱대고 외우지 말자
수학이야기 2023. 6. 26. 16:13
구구단을 언제 외웠는가? 정상이라면 아마도 초등학교 2학년 2학기에 배우고 외웠을 것이다. 그런데 가끔 의욕이 넘쳐서 학교에서 배우기도 전에 외우는 학생이 있다. 구구단에 흥미를 느끼는 초등학생은 거의 없을 것이므로 대부분 부모의 의욕이 넘쳐서 일 것이다. 고등학교 수학 교사의 눈에는 구구단을 미리 외우는 일만큼 쓸데없는 일이 없다. 어쩌면 의미도 모른 채 구구단을 외우면서 수학에서 오히려 멀어지는 것이 아닐까 하는 걱정도 있다. 물론 구구셈이 너무 느리면 수학을 공부하기 어렵다. 하지만 셈만 빠르고 의미를 모른다면 이 또한 부질없는 일이다. 인간은 언제부터 곱셈을 했을까? 옛날 사람은 어떻게 곱셈을 했는지 정리해 보자. 먼저 고대 이집트인은 린드 파피루스에 곱셈하는 기술을 정리해 두었다고 한다. 이집트..
함수식 톺아보기
수학이야기/중학수학3 2023. 6. 23. 15:55
중학교 3학년이면 배우지 않았어도 미분과 적분이란 말은 한 번쯤은 들어보았을 것이다. 거칠게 이야기하면 미분과 적분은 고정되지 않고 변하는 것을 연구한다. 변하는 것을 연구하려면 반드시 함수를 알아야 한다. 고등학교에서 여러 가지 함수를 배우지만 중학교에선 1차 함수와 2차 함수 단 두 가지만 배운다. 1차와 2차 함수는 정확하게 이해하면 아주 간단하게 다룰 수 있지만 처음 만나면 이에겐 그렇게 쉽지만은 않다. 요즘 교과과정을 처음 만나는 곳은 학원인 학생이 많다. 사교육이 복습에 치중했으면 좋겠는데 대부분 선수학습에 매진한다. 그런데 처음 만나는 개념을 제대로 잡지 않고 바로 문제만 푸는 학생이 많아서 걱정이다. 수업 시간에 나름대로 자세하게 설명해 보려고 하지만 대체로 반응은 시큰둥하다. 왜냐하면 제..
알지오매스 거북이와 블럭코딩
수학이야기/중학수학3 2023. 6. 22. 11:26
알지오매스는 코딩을 쉽게 경험할 수 있는 환경을 제공해 준다. 학기말 시험이 끝난 중학생과 같이 수업시간에 해보기 위해 미리 준비하는 글이다. 이 글을 참고하여 거북이로 코딩하는 재미를 맛보기로 하자. 중학생이면 학년과 상관없이 가능할 것 같다.알지오매스는 메뉴가 아주 직관적이다. 옆에서 순서도 그림을 누르면 아래 화면과 같이 구성, 동작, $\cdots$와 같은 단추가 나온다. 이 단추로 만들어지는 코드는 배경색으로 구별하면 된다. 거북이를 부르려면 파란 단추인 구성을 선택해서 거북이 만들기를 고르면 된다. 거북이를 불렀다. 이제 이 거북이를 움직여서 정사각형을 그리게 하자. 알고리즘은 아주 간단하지만 잘 살펴봐야 한다. 원래 간단한 것이 중요한 것이다. 바로 변수를 적용하면 낙오하는 학생이 많을 것이..

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