원 안에 다 있다_사인법칙과 코사인법칙

삼각비를 이용하여 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 알아보자.

삼각형 $ABC$에서 $\angle A ,\; \angle B,\; \angle C$의 크기를 각각 $A,\; B,\; C$로 나타내고, 이들의 대변의 길이를 각각 $a,\; b,\; c$로 나타내기로 한다.

아래 연결된 글은 2014년에 적었는데 사인법칙과 코사인법칙에 관해 여러 가지 증명을 정리해 두었으니 참고하자. 

https://suhak.tistory.com/215

사인, 코사인 법칙

중학교에서 배워서 알고 있을 것이다. 삼각형이 결정되는 조건은 아래와 같이 세 가지가 있다.  
1. 세 변의 길이가 주어진다.
2. 두 변의 길이와 사이에 끼인 각의 크기가 주어진다. 
3. 한 변의 길이와 두 각의 크기가 주어진다.

흔히 합동 조건으로 외우기도 한다. 변은 Side, 각은 Angle의 머릿글자를 떼서 SSS합동, SAS합동, ASA합동과 같이 부르는 조건이 바로 그것이다. 직각삼각형일 때는 직각 Right angle, 빗변 Hypotenuse의 머릿글자로 RHS합동, RHS합동이라고 부르는 조건도 있다. 직각삼각형은 이미 크기가 직각인 각이 있음을 알고 있으니 더 쉽게 정리할 수 있음을 알 수 있다. 사인법칙과 코사인법칙은 직각삼각형에서 성립하는 정리를 일반화한 것이다. 코사인법칙은 직각삼각형이 아닌 삼각형에 피타고라스 정리와 같은 공식을 만들어 쓰려고 만든 법칙이다.

모든 삼각형은 원에 내접한다. 다르게 표현하면 모든 삼각형은 외접원을 가진다. 직각삼각형은 특별하므로 빗변의 중점이 외접원의 중심이라는 사실을 알고 있다. 이것을 기준으로 생각하면 사인법칙과 코사인법칙을 쉽게 이해할 수 있다.

사인법칙

중학교에서 배웠다. 원에서 호에 대한 원주각의 크기는 부채꼴 중심각의 크기의 절반과 같으므로 같은 호에 대한 원주각은 모두 같다. 원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 각의 크기의 합은 180도라는 정리도 자연스럽게 알 수 있다. 이런 정리는 모두 간단하지만 증명을 스스로 해보면 아주 좋다. 아무튼 수학에선 달라지는 변수도 중요하지만 달라지지 않는 상수도 매우 중요하다. 예들 들면 $\pi$와 같은 상수는 중요하다는 말로 모자랄만큼 큰일을 한다.

 

그림에 있는 세 삼각형 $\triangle ABC, \quad \triangle A_1BC, \quad \triangle A_2BC$는 모두 같은 외접원을 가지고 현 $BC$를 공유하고 있다. 이미 직각삼각형에서 사인은 원의 지름(빗변의 길이)과 현의 길이(대변의 길이)로 정의하였으므로 아래와 같은 사인법칙을 쉽게 끌어낼 수 있다.

$$\sin A=\sin A_1=\sin A_2=\frac{a}{2R}\tag{1}$$

삼각형의 모양은 달라지지만 외접원은 그대로이므로 당연히 변하지 않는 양이 있다. 사인법칙은 같은 원에 내접하는 삼각형이 길이가 같은 현을 한 변으로 가지고 있다면 그 변의 대각의 사인값이 불변이라는 것을 말하고 있다.

(1)을 변하지 않는 외접원의 지름을 기준으로 다시 적으면 아래와 같다.

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\tag{2}$$

코사인법칙

중학교에서 아래와 같은 정리도 배웠다.

$$ay=bx\tag{3}$$

사실 증명이라고 하기도 민망한 정리다. 알고 보면 원주각 문제로 해결된다. 이것도 다시 말하면 같은 원에서 서로를 내분하는 현 사이에 불편하는 양이 있다는 것이다. 이것을 활용하여 코사인법칙을 이끌어 내 보기로 하자. 

 

중학생도 이해하는 증명

아래 그림은 $\triangle ABC$에서 꼭짓점 $C$를 중심으로 반지름의 길이가 $a$인 원을 그린 것이다.

(3)에 있는 분변량을 정리하면

$$\overline{GA}\times\overline{AB}=\overline{FA}\times\overline{AE}$$

$$(2a\cos B -c)c=(a-b)(a+b)$$

이것을 잘 정리하면 아래와 같은 코사인법칙을 얻는다.

$$2ac\cos B-c^2=a^2-b^2$$

$$b^2=a^2+c^2 -2ac\cos B\tag{4}$$

$B$가 직각일 때 (4)는 피타고라스 정리가 된다.

(4)는 두 변과 사이에 끼인 각의 크기를 알면 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있음을 말한다. 삼각형 결정 조건에서 두 번째에 해당하는 것이다. 아래와 같이 정리하여 세 변의 길이를 알면 각의 크기를 정할 수 있다고 생각할 수도 있다.

$$\cos B=\frac{a^2+c^2 -b^2}{2ac}\tag{5}$$

꼭짓점 $A$가 원 밖에 있을 때도 생각할 수 있다. 잠깐만 생각해 보면 쉽게 알 수 있다. 원이 달라지지 않으므로 두 현이 서로를 내분할 때와 연장선이 원 밖에서 만나 서로를 외분할 때가 차이가 없다는 것을 말이다.

그러면 한 변과 두 각의 크기를 알 때는 어떤 법칙을 만들 수 있을까? 이것은 옛날 교육과정에 코사인 제1 법칙으로 다루었으나 이제는 나오지 않는다.

$$a=b\cos C+c\cos B,\;\;b=a\cos C+ c\cos A,\;\;c=b\cos A+a\cos B\tag{6}$$

(6)에서 (4)를 이끌어낼 수 있어서 (4)를 코사인 제2 법칙으로 불렀다.

유클리드가 증명한 방법

사인과 코사인이란 이름도 없던 시절에 쓴 유클리드 원론에도 코사인법칙이 나온다. 2권 명제 12와 명제 13이 바로 그것이다.

명제 12

둔각삼각형에서 둔각의 대변 위의 정사각형은 둔각을 끼는 두 변 위의 정사각형의 합보다, 둔각을 끼는 변의 하나와 이 변에 수선이 내려지고, 이 둔각에의 수선에 의해서 외부에 잘려진 선분으로 에워싸인 직사각형의 2배만큼 크다.

오늘날 표현으로 나타내면 증명은 간단하다. 피타고라스 정리를 두 번 쓰면 된다.

그림에서 $$\begin{split}&a^2 +c^2+2\times \overline{DB}\times\overline{BC}\\=&a^2+\overline{AD}^2+\overline{DB}^2+2\times\overline{DB}\times\overline{BC}\\=&\overline{AD}^2+a^2+\overline{DB}^2+2\times\overline{DB}\times a\\=&\overline{AD}^2+(\overline{DB}+a)^2\\=&\overline{AD}^2+\overline{DC}^2\\=&b^2\end{split}$$

$$b^2=a^2+c^2 +2\times \overline{BD}\times\overline{BC}$$

$$b^2=a^2+c^2 +2 \times c\cos(\pi-\theta)\times a$$

$$b^2=a^2+c^2 -2 a c\cos\theta$$

명제 13

예각삼각형에서 예각의 대변 위의 정사각형은 예각을 끼는 두 변 위의 정사각형의 합보다, 예각을 끼는 변의 하나와 이 변에 수선이 내려지고, 이 예각에의 수선에 의해서 외부에 잘려진 선분으로 에워싸인 직사각형의 2배만큼 작다.

$$a^2+\overline{BD}^2=2\times a\times \overline{BD}+\overline{DC}^2$$

양변에 $\overline{AD}^2$을 더하면

$$a^2+\overline{BD}^2+ \overline{AD}^2 =2\times a\times \overline{BD}+\overline{DC}^2+ \overline{AD}^2 $$

점 $D$는 수선의 발이므로 피타고라스 정리에 따라

$$a^2+c^2 =2\times a\times \overline{BD}+b^2 $$

$$b^2=a^2+c^2 -2\times a\times \overline{BD}$$

$\blacksquare$

다시 적으면 코사인법칙과 같다.

$$b^2=a^2+c^2 -2 ac\cos\theta$$

2022개정 교육과정

2022개정 교육과정 교과서에서는 유클리드의 증명을 그대로 현대적인 표현으로 바꾸면 된다. 결국 코사인법칙은 피타고라스 정리를 확장하여 만든 법칙이다.

1) $B<90^{\circ}$일 때,

$$\overline{AD}=c\sin B,\;\;\overline{BD}=c\cos B$$

$$\begin{split}b^2=&\overline{AD}^2+\overline{DC}^2\\=&(c\sin B)^2+(a-c\cos B)^2\\=&c^2 \sin^2 B +a^2 +c^2 \cos^2 B-2ac\cos B\\=&a^2 +c^2(\sin^2 B+\cos^2 B)-2ac \cos B \\=&a^2 +c^2 -2ac\cos B\end{split}\tag{7}$$

 

2) $B<90^{\circ}$일 때,

3) $B>90^{\circ}$일 때,

$$\begin{split}b^2=&\overline{AD}^2+\overline{DC}^2\\=&(c\sin (\pi-B))^2+(a+c\cos(\pi- B))^2 \\=&(c\sin B)^2+(a-c\cos B)^2 \\=&c^2 \sin^2 B +a^2 +c^2 \cos^2 B-2ac\cos B\\=&a^2 +c^2(\sin^2 B+\cos^2 B)-2ac \cos B \\=&a^2 +c^2 -2ac\cos B\end{split}$$

https://suhak.tistory.com/209

원론(Euclid's Elements) 2권