생일이 같은 사람이 있을 확률
수학이야기/확률통계 2026. 6. 15. 19:482026 월드컵이 시작되었다. 축구와는 관계없는 수학이야기를 하나 올린다.
경기장 안에 양 팀 선수와 주심까지 모두 23명이 뛰고 있다. 이때 23명 가운데 생일이 같은 사람이 있을 확률은 얼마인가?
인간의 직관은 보잘 것 없어서 자주 빗나간다. 위에 있는 문제도 확률이 1/2이 넘는다는 것을 단박에 알아채는 사람은 흔치 않다. 1년은 365일이나 되니까 23명이 생일이 모두 다를 확률이 상당히 높을 것으로 생각하기 쉽다.
$n$명 가운데 생일이 같은 사람이 있을 확률을 $p(n)$이라고 하자.
먼저 계산을 편하게 하기 위해 $n$명의 생일이 모두 다를 확률을 $\bar p (n)$이라고 하자.
생일이 모두 다르려면 두 번째 사람은 첫 번째 사람과 생일이 달라야 하고 세 번째 사람은 이전 두 사람과 생일이 달라야 한다. $n$번째 사람이 앞에 있는 모든 사람과 생일이 다를 확률은 아래와 같이 구할 수 있다.
\begin{align} \bar p(n) &= 1 \times \left(1-\frac{1}{365}\right) \times \left(1-\frac{2}{365}\right) \times \cdots \times \left(1-\frac{n-1}{365}\right) \\ &= { 365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times (365-n+1) \over 365^n } \\ &= { 365! \over 365^n (365-n)!}\\& =\frac{{}_{365}P_{n}}{{365}^n} \end{align}
$p(n)$은 여사건의 확률이므로
$$p(n)=1-\bar p(n)=1- \frac{{}_{365}P_{n}}{{365}^n} $$
이다. 그래프는 아래와 같다.
$p(23)=0.507$이고 $p(50)=0.97$이다. 50명만 있어도 생일이 같은 사람이 있을 확률이 1에 가깝다. $p(70)=0.99$, $p(100)=0.9999997$이다. 가끔 나와 생일이 같은 사람이 100명 가운데 반드시 1명은 있다고 착각하는 사람이 있는데 조금만 생각해 보면 잘못된 생각임을 쉽게 알 수 있다. 100명 가운데 생일이 같은 사람이 있을 확률이 1에 매우 가깝다는 말과 특정한 사람과 생일이 같은 사람이 있다는 말은 다르다.
지방선거 개표 결과 다른 투표소인데 후보자의 득표수가 똑같이 나온 경우가 있으므로 부정선거라고 주장하는 이들이 있다. 직관적으로는 후보자의 득표수가 똑같이 나오는 투표소가 있을 확률이 매우 낮은 것으로 보이지만 생각만큼 희박한 사건은 아니다. 1~365이 적힌 공 가운데 무작위로 뽑아 번호를 적고 다시 넣고 뽑는 일을 50번 되풀이했을 때 모두 다른 번호가 나올 확률이 매우 낮은 것처럼 투표자수가 비슷한 투표소가 많다면 후보자 두 사람이 모든 투표소에서 모두 다른 득표수를 얻을 확률도 낮을 것이 분명하다. 따라서 쌍둥이 득표수가 있을 확률이 생각보다 높을 수 있다.
당연히 쌍둥이 득표수가 있다는 사실이 곧바로 부정선거의 증거가 될 수는 없다. 5억 9천만 분의 1을 6번 곱해야 하는 확률을 운운하는 아무개 대표는 조금 더 신중하게 통계학자에게 자문을 구해 보아야 할 것이다. 5억 9천만 분의 1을 왜 6번이나 곱한다고 했을까 계산 과정이 궁금하다.
무능하고 게으른 선거관리위원회 탓에 이제 사전투표도 없어지고 수개표로 되돌아가게 될지도 모르겠다.
