접촉원과 곡률
수학이야기/미적분
2015. 1. 30. 13:53
곡률(curvature)은 곡선이 굽은 정도를 나타내는 것이다. 곡률을 구하기 위하여 먼저 접촉원(osculating circle)을 정의하자. 입맞춤을 뜻하는 osculate는 접선과 같은 개념이다. 곡선 $C$ 위의 점 $P$에서 접촉원의 반지름 $r$이 곡률 반지름이고 역수가 바로 곡률이다. $$\kappa =\frac{1}{r}$$ 아래와 그림과 같이 곡선 $y=f(x)$ 위의 세 점 $P,P_1 ,P_2 $을 지나는 원을 생각하자. 이제 $P_1 ,P_2$가 한없이 $P$에 가까워 질 때 생기는 원의 극한이 바로 접촉원이다. 접선이 곡선의 아주 짧은 구간을 직선으로 생각하듯이 곡선의 아주 짧은 구간을 원으로 생각하는 것이다. 아래 그림에서 곡률 반지름을 구해보자. 두 점 $P, Q$에서 접선 벡..