'수학이야기/확률통계' 카테고리의 글 목록 (4 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/확률통계

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표본평균의 분포
수학이야기/확률통계 2011. 6. 17. 13:15
모집단의 어떤 특성을 나타내는 확률변수의 확률분포를 모집단분포라 하고, 그 확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라고 한다. 한편, 어떤 모집단에서 크기가 $n$인 표본 $X_1 , X_2 , X_3 , \cdots , X_n$을 임의추출하였을 때, $$\bar{X}=\frac{1}{n}(X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n )$$ $$S^2 =\frac{1}{n-1}{ (X_1 -\bar{X})^2 + (X_2 -\bar{X})^2 + \cdots + (X_n -\bar{X})^2 }$$ 을 각각 표본평균, 표본분산이라 하고, $S(\geq 0)$를 표본표준편차라고 한다. 모집단의 특성을 추출한 표본으로 알아내기 위해선 모집단과 표본 사이의 관계를 알아야..
제1종 오류와 제 2종 오류
수학이야기/확률통계 2011. 6. 16. 20:03
통계로 가설을 검정할 때 생길 수 있는 두가지 오류를 각각 제 1종 오류($\alpha$)와 제 2종 오류($\beta$)로 부른다. 제 1종 오류는 옳은 가설이 거부될 때 생기고 제 2종 오류는 잘못된 가설이 채택될 때 생긴다. 가설 참 가설 거짓 가설 채택 옳은 판단 2종 오류($\beta$) 가설 기각 1종 오류($\alpha$) 옳은 판단 어느 지역에서 자동차의 20%이상이 코베트라는 가설을 세우고, 이를 검정하기 위해 어느 하루동안 주요 교차로를 지나가는 자동차 1천대를 조사하였다. 조사결과 1천대중 단 2대만이 코베트였다. 가설대로 자동차의 20% 이상이 코베트라면 이런 결과가 나올 확률은 매우 적을 것이다. 계산해 보니 역시 유의수준 5% 이하였다. 따라서 그 지역의 자동차의 20%이상이 코..
평균으로의 퇴보(regression toward the mean)
수학이야기/확률통계 2011. 6. 13. 15:19
프로 야구나 축구 선수들이 첫 해에는 뛰어난 성적을 보였다가 다음 해에는 슬럼프를 겪는 일이 많다고 한다. 이것도 평균으로의 퇴보라 불러도 되지 않을까? 골턴(Galton, F.:1822-1911)은 아들과 아버지 키의 관계에서 아들의 키가 평균으로 돌아가려는 경향이 있음을 찾아 냈다. 아버지 키가 클 때, 유전적 영향으로 자식들이 모두 키가 크게 된다면 몇 세대만 내려가더라도 인류는 키가 무척 큰 집안과 키가 무척 작은 집안으로 갈리게 될 것이다. 하지만 세대가 거듭되더라도 안정적인 상태를 유지하고 있다. 키 큰 사람의 자손들이 오히려 평균보다 낮은 이들이 많다는 것이다. 이를 '평균으로의 회귀(regression toward the mean)'라고 불렀다. 주사위를 처음 던졌을 때, 4가 나왔다고 하..
이항분포와 정규분포
수학이야기/확률통계 2011. 6. 9. 17:23
물음 : 검은 공이 하나 흰 공이 셋 들어있는 주머니에서 하나의 공을 꺼내 보고 다시 넣는다. 이 시행을 192번 했을 때 검은 공이 눈이 48번 이상 60번 이하 나올 확률을 구해보자. 풀이) 독립시행이므로 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라고 한다면 이항분포 $B(192, \frac{1}{4})$를 따른다. 따라서, $P(48 \leq X \leq 60)$은 이다. 이것을 계산하는 것은 무척이나 복잡하고 번거로운 일이다.그림과 같이 일반적으로 이항분포 $B(n, p)$의 확률질량함수의 그래프는 $n$이 커질 수록 정규분포 곡선에 가까워진다. 확률변수 $X$가 이항분포 $B(n, p)$를 따르고 $n$이 충분히 클 때, 정규분포 $N(np, npq)$에 따른다고 여겨 근삿값을 구하면 된다. ($..
케이크 사이 좋게 나누기
수학이야기/확률통계 2011. 5. 1. 18:27
간단해 보이지만 간단치 않은 수학문제 하나 풀어 봅시다. 케이크가 보이시나요. 이 케이크을 모두가 만족하도록 나누어 가지려면 어찌해야 될까요? 크기만 똑같이 나누면 누군가 다른 이가 가진 것을 부러워하게 됩니다. 생크림 있는 쪽을 모두가 좋아한다면 크기를 조금 작게 나누어야겠지요. 서로 크기가 같은 똑같은 나눔과 크기는 달라도 모두 맘에 들어하는 것은 부러움 없는 나눔이라 부릅시다. 둘이라면 간단하죠. 1. A가 나름대로 둘로 자릅니다. 2. B가 먼저 둘 가운데 하나를 가집니다. 이렇게 나누면 둘 모두 다른 조각을 부러워하지 않을 테니 부러움 없는 나눔이 됩니다. 이제 셋이라면 어떻게 나누어야 할까요? 1. 먼저 $A$가 케이크을 셋($X,Y,Z$)으로 자릅니다. 이제 $B$와 $C$가 각각 가지고 싶..

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