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'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (113 Page)::::수학과 사는 이야기

수학과 사는 이야기

수학이야기

다항식 인수분해의 활용

수학이야기 2014. 5. 23. 15:17

$(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^6$ 과 가장 가까운 자연수를 구하여라.(단, 근삿값 계산을 하지 않고 구하여라.)먼저 인수분해를 활용하는 방법을 생각해 보자.

$(\sqrt{3 }+\sqrt{2})^4 =\sqrt{3}^4 +4\sqrt{3}^3 \sqrt{2}+6\sqrt{3}^2 \sqrt{2}^2+ 4\sqrt{3}\sqrt{2}^3 +\sqrt{2}^4$ 홀수 차수를 계산할 때 문제가 있음을 알 수 있다. 그러므로 홀수 차수를 계산하지 않고 구하는 방법을 생각하기로 하자.

$(\sqrt{3 }-\sqrt{2})^4 =\sqrt{3}^4 -4\sqrt{3}^3 \sqrt{2}+6\sqrt{3}^2 \sqrt{2}^2- 4\sqrt{3}\sqrt{2}^3 +\sqrt{2}^4$ 를 더하면..

witch of Agnesi

수학이야기 2014. 5. 16. 09:04

오늘은 이탈리아 여성 수학자 아그네시 296주년 되는 날이라 구글로고로 기념하고 있습니다. 애니메이션으로 보여주고 있는 곡선은 witch of Agnesi로 불리는데 마녀라니 좀 그렇죠. 마녀라는 이름은 잘못된 번역에서 비롯되었다고 합니다. 이 곡선을 매개변수 방정식으로 표현하면

$x=2a\tan\theta, \;\; y=2a \cos^2 \theta$ 이고, 데카르트 방정식으로 표현하면

$y=\frac{8a^3}{x^2 +4a^2}$ 입니다.

$\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$ 일 때는 우리가 자주 보는 그래프입니다. 아래에 있는 지오지브라 파일을 열면 애니메이션을 볼 수 있습니다. 어제 '스승의 날' 선물로 받은 '하트곡선'도 올려놓습니다. 다른 하트 곡선도 옮겨봅니다.

대칭이동의 활용

수학이야기/기하벡터 2014. 5. 15. 09:24

대칭이동을 활용하여 문제해결을 해보자. 어떤 직선

$l$ 의 같은 쪽에 있는 두 점

$A,B$ 가 있다. 직선 위의 점

$P$ 에 대하여

$\overline{AP}+\overline{BP}$ 의 최솟값을 구하는 방법을 생각해 보자. 이 문제를 대수로 해결하기 위해

$A(a,b),\;B(c,d),\;P(x,0)$ 으로 놓고 식을 세워보자.

$\overline{AP}+\overline{BP}=\sqrt{(x-a)^2 +b^2}+\sqrt{(x-c)^2 +d^2}$ 이다.

$x$ 에 따라 정해지는 함수로 생각하면

$f(x)=\sqrt{(x-a)^2 +b^2}+\sqrt{(x-c)^2 +d^2}$ 이 함수는 대수적으로 최솟값을 구하기 매우 어렵다. 이를 기하와 연관지어 생각해 보자. 두 선분의 길이를 더하는 것은 선분 길이를 반지..

여러 가지 평균의 작도

수학이야기/기하벡터 2014. 5. 12. 10:47

$\overline{AC}=a, \; \overline{BC}=b$ 라고 하면

$a+b$ 는 쉽게 작도할 수 있다. 이제 수직이등분선을 작도하여

$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$ 를 반지름으로 하는 원을 그린다. 점

$\overline{AB}$ 에 수직인 직선을 작도하여 원과 만나는 점

$P$ 를 찾는다.

$\triangle APC \sim \triangle PBC$ 이제 닮음비로 길이를 찾아보면

$\overline{AC}:\overline{CP}=\overline{CP}:\overline{CB}$

$\therefore \overline{CP}=\sqrt{ab}$ 가로와 세로가

$a,b$ 인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는

$\sqrt{ab}$ 이다. 따라서 $\ov..

수학이야기/기하벡터 2014. 5. 3. 10:49

그냥 공식을 외워서 답을 구하면 되지 왜 어려운 증명을 하는가? 대부분 학생들이 수학은 계산으로 답을 구하는 것으로 알고 있을 뿐 증명이 훨씬 중요함을 느끼지 못하고 있습니다.

$a^2 +b^2 =c^2$ 피타고라스 정리는 피타고라스 이전에 이미 널리 알려진 공식이었습니다. 이집트와 바빌로니아는 물론 중국에서도 직각을 만드는 수 3,4,5는 알고 있었으며 그리스보다 훨씬 정확한 계산으로 완벽한 직각을 만들어내고 있었습니다. 그런데 왜 피타고라스 정리로 부르게 되었을까요? 그것은 피타고라스가 처음으로 추상적 증명을 했기 때문입니다. 그는 어떻게 증명했을까 살펴보겠습니다. 참고로 피타고라스가 살았던 시대엔 아라비아 숫자도 방정식도 심지어 구구셈도 없었습니다. 그저 정사각형의 넓이는 한변 길이를 제곱하면..

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