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수학이야기

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수학하는 고양이
수학이야기 2014. 7. 11. 09:44
손으로 제곱근 계산하기
수학이야기 2014. 7. 4. 13:49
$\sqrt{2}=1.4142\cdots$임은 외우고 있을 것이다. 하지만 $\sqrt{30}$의 근삿값을 소수점 아래 다섯 자리까지 찾으라고 한다면 조금은 당황스러울 것이다. 이제 손으로 제곱근 값을 계산하는 방법을 알아보자. 바빌로니아 방법(Babylonian method) $\sqrt{S}$의 근삿값 $x_n$을 찾고 다음으로 $x_{n+1}$을 아래와 같은 점화식으로 찾아 나가는 방식이다. wiki $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\bigg(x_n +\frac{S}{x_n} \bigg)$$ $\sqrt{30}$은 $x_0 =5$로 놓고 풀면 아래와 같이 아주 빠르게 근삿값에 가까워짐을 알 수 있다. $$x_1 =\frac{1}{2}\bigg(5+\frac{30}{5}\bigg)=5.5$$ $..
하이포사이클로이드(hypocycloid)
수학이야기/기하벡터 2014. 6. 25. 14:00
하이포사이클로이드는 사이클로이드에서 한발 더 나간 곡선이다. 두 원이 있을 때 작은 원이 큰 원에 내접하면서 구른다고 하자. 이때 작은 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 하이포사이클로이드(hypocycloid)이다. 자취를 식으로 나타내 보자. 두 원의 반지름이 각각 $R,r(R>r)$이라고 하자. 작은 원이 큰 원에 접하면서 $\alpha$ 회전했을 때, 작은 원 중심은 큰 원의 중심을 중심으로 $\theta$ 회전했다고 하자. 원 위의 점은 $P(x(\theta),y(\theta))$라고 하고 시작은 $x(0)=R, y(0)=0$이라고 하자. $$r\alpha=R\theta$$ 이제 작은 원 중심 $A$를 지나고 $x$축과 평행한 직선과 $\overline{AP}$가 이루는 각을 $\phi$라고..
피타고라스 짝과 프림프톤322
수학이야기 2014. 6. 20. 11:30
프림프톤(Plimpton 322(BC 1900~1600))은 오늘날 이라크 지방인 바빌로니아에서 만든 점토판이다. 바빌로니아는 60진법을 썼는데 오늘날 우리가 쓰고 있는 십진법으로 고쳐보면 판에 쓰인 수들이 피타고라스 정리를 만족하는 자연수 해인 피타고라스 짝이라고 한다. $$x^2 +y^2 =z^2$$ $(3,4,5)$는 가장 널리 알려진 피타고라스 짝이다. 다들 알고 있듯이 변 길이가 $3,4,5$인 삼각형은 직각삼각형이다. 옛날에도 건축을 위해 수직이 필요했을 것이다. 직각을 얻기 위한 공식을 적은 것으로 보이는데 기원전에 이런 계산을 한 사람은 도대체 누굴까 궁금하다. (1:)59:00:15 1:59 2:49 1 (1:)56:56:58:14:50:06:15 56:07 1:20:25 2 (1:)55..
벡터 공간(vector space)
수학이야기/기하벡터 2014. 6. 16. 14:30
크기와 방향을 가진 값을 수학에서 다룰 때 벡터로 다루면 편하다. 벡터 공간(vector space)은 따로 공리를 가지고 있지만 고등학교에선 유클리드 평면벡터, 공간벡터만 다루고 있다. 유클리드 벡터를 나타내기 위해 방향이 있는 선분(화살표)을 주로 사용한다. 그러므로 이제부터 벡터는 화살표라고 정의하자. 뉴턴(Isaac Newton ; 1642~1727)은 물체의 운동과 속도, 힘을 화살표로 나타냈는데 이것이 벡터의 시초다. 가우스를 거쳐 아일랜드 수학자 해밀턴(Hamilton, W.R. ; 1805~1865)이 1844년 발표한 논문에서 처음으로 벡터와 스칼라라는 말을 쓰기 시작했다. 그는 위치벡터의 개념을 창안하여 벡터를 좌표와 대응시켜 벡터공간의 기초를 다졌다. 복소수를 확장한 '사원수(Quat..

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