'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (113 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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증명의 힘
수학이야기/기하벡터 2014. 5. 3. 10:49
그냥 공식을 외워서 답을 구하면 되지 왜 어려운 증명을 하는가? 대부분 학생들이 수학은 계산으로 답을 구하는 것으로 알고 있을 뿐 증명이 훨씬 중요함을 느끼지 못하고 있습니다. $$a^2 +b^2 =c^2 $$ 피타고라스 정리는 피타고라스 이전에 이미 널리 알려진 공식이었습니다. 이집트와 바빌로니아는 물론 중국에서도 직각을 만드는 수 3,4,5는 알고 있었으며 그리스보다 훨씬 정확한 계산으로 완벽한 직각을 만들어내고 있었습니다. 그런데 왜 피타고라스 정리로 부르게 되었을까요? 그것은 피타고라스가 처음으로 추상적 증명을 했기 때문입니다. 그는 어떻게 증명했을까 살펴보겠습니다. 참고로 피타고라스가 살았던 시대엔 아라비아 숫자도 방정식도 심지어 구구셈도 없었습니다. 그저 정사각형의 넓이는 한변 길이를 제곱하면..
직관의 약점_폴커리 속임수
수학이야기/기하벡터 2014. 5. 2. 10:28
수학에서도 직관은 매우 중요합니다. 그러나 직관에만 의존하는 것은 위험합니다. 때로는 직관은 착각과 함께 하기 때문입니다. 폴커리의 속임수를 봅시다. 정사각형을 잘라서 위치를 바꾸고 나니 가운데 작은 정사각형이 생겼습니다. 이 사각형은 어디서 온 것일까요? 바로 직관이 품은 오차입니다. 지구와 태양을 아주 커다란 구로 생각해 봅시다. 각각 지구와 태양 둘레를 한바퀴 감아 놓은 실이 있습니다. 이제 그 실을 토성을 두른 띠처럼 1m 위로 띄우려고 합니다. 지구와 태양 어느 쪽이 더 긴 실이 필요할까요? 태양이 떠올랐나요? 정답은 모두 $2\pi$로 똑같다입니다. 이제 직관이 가진 약점을 아시겠지요. 이런 약점을 극복하기위해 수학 선생은 자꾸만 증명을 하라고 잔소리를 하고 있답니다.
푸앵소의 별
수학이야기/기하벡터 2014. 4. 23. 14:24
아래와 같은 규칙으로 다각형을 그리기로 한다. 1. 원을 $n$등분 하는 점을 찍는다.($3 \leq n$) 2. 한 점에서 출발하여 시계 반대 방향으로 $k$번째 점으로 선을 이어 나간다. ($1 \leq k < n$) $n=5$일 때 서로 다른 그림은 위에 있는 두 가지가 있다. 이런 다각형 가운데 다각형이 나뉘거나 선분이 그려지는 경우를 제외하고 주어진 $n$개의 모든 점을 한 번에 연결하여 만들어지는 다각형을 '정별다각형'으로 부르기로 하자.(이를 푸앵소의 별로 부르기도 한다.) wiki Louis Poinsot http://en.wikipedia.org/wiki/Stellation Stellation - Wikipedia In geometry, stellation is the process of..
매개변수
수학이야기 2014. 4. 14. 13:23
매개(parameter)는 그리스말에서 왔다. "para( παρά )"는 "옆에, 부가적인"을 뜻하고 "meter(μέτρον)"는 "측정하는"을 뜻한다. 수학 뿐만아니라 과학, 컴퓨터, 논리학 따위에서 특별한 체계를 정의할 때, 측정에 도움을 주는 요소을 뜻한다. 수학에서는 두 변수 사이에 들어가 서로 관계를 이어주는 변수를 매개변수로 부른다. 매개변수로 나타내면 식을 더욱 명확하게 표현할 수도 있으므로 복잡한 문제를 해결할 때 매개변수를 써서 쉬운 풀이를 찾기도 한다. 아래 곡선은 반지름이 $r$인 원이 구를 때 원 위의 한 점이 그리는 자취이다. 이름은 사이클로이드(cycloid)이다. 이 곡선 위의 점의 위치 $(x,y)$를 시각 $t$를 매개변수로 하여 $x=r(t-\sin t),\; y=r(..
수학은 식으로 만든다.
수학이야기 2014. 4. 10. 13:56
수와 문자 그리고 변수(variable) 수학 책에는 숫자만큼이나 많은 문자가 등장합니다. 아니 어쩌면 숫자보다 문자가 더 많이 등장하는데 식에 쓰인 문자를 제대로 파악하지 못해 수식을 이해하지 못하는 일이 많습니다. 문제에 주어진 수식을 제대로 이해하지 못하면 문제해결은 더욱 어렵습니다. 그런 어려움을 겪는 이들을 위해 문자 특히, 변수에 대해 정리해둡니다. 수학에서 임의의 수나 알려지지 않은 수(미지수)를 나타낼 때, $a,b,c, x,y,z, \cdots$와 같이 문자로 씁니다. 어떤 문자는 단순하게 숫자 하나를 대표하지만 어떤 문자는 정해진 집합에 있는 여러 원소를 대표합니다. 예를 들면 이차방정식 $ax^2 +bx+c=0$에서 $a,b,c$는 단순하게 주어진 방정식 항의 계수를 대표하고 있지만 ..

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