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수학이야기

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두 자연수가 서로소일 확률
수학이야기 2014. 6. 9. 10:57
임의로 고른 두 자연수가 서로소(relative prime)일 확률을 구할 수 있을까? 답은 구할 수 '있다'이다. 나름 재미있어서 정리해 둔다. 두 자연수 $A, B$가 서로소일 확률을 $P$라고 하자. 먼저 최대공약수가 $2$인 확률을 구해보자. 최대공약수가 $2$인 것은 두 수 $A,B$ 모두 $2$의 배수이고 $\displaystyle{\frac{A}{2},\frac{B}{2}}$는 서로소이다. 어떤 자연수가 $2$의 배수일 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이므로 최대공약수가 $2$일 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times P}$이다. 이제 두 자연수가 $n \in \mathbb{N}$을 최대공약수로 가질 확률..
포락선(envelope)
수학이야기/기하벡터 2014. 6. 6. 08:35
그림에서 파란 직선은 모두 $\displaystyle{\frac{x}{t}+\frac{y}{10-t}=1 \;\;(0
데카르트가 시작한 해석 기하학
수학이야기/기하벡터 2014. 6. 5. 10:21
르네 데카르트( René Descartes 31 March 1596 – 11 February 1650 )는 많은 업적을 남겼다. 그 가운데 해석 기하학을 창조해낸 것이 으뜸이다. 기하를 대수로 새롭게 해석하는 것에서 시작해서 함수를 정의하고 미적분으로 나아감으로써 셀 수 없이 많은 창조가 이루어졌다. 그가 남긴 말을 옮겨 적는다. "생각한다. 고로 나는 존재한다." 그가 우리에게 선물한 좌표계( Cartesian coordinate system )는 진짜 강력한 도구를 선물해 준다. 데카르트는 몸이 약해 침대에 누워 생각하는 때가 많았다고 한다. 어느 날 천장을 기어 다니는 파리의 자취를 대수적으로 표현하는 방법을 생각하다가 좌표계를 만들어냈다고 한다. 그는 말했다. "자연 현상을 설명하는 데 필요한 다..
함수의 역사
수학이야기 2014. 6. 4. 18:55
함수(function)가 수학에 등장한 것은 생각보다 오래되지 않았다. 1673년 라이프니츠(Gottfried Leibniz)는 곡선과 관련된 변량을 기술하기 하기 위해 함수를 쓰자고 주장했다. 라이프니츠가 생각한 함수는 오늘날 도함수로 부른다. 변화량에 대한 변화량 사이 관계를 측정하는 함수는 미적분의 뿌리가 된다. 다음으로 베르누이(Johann Bernoulli)는 변수와 상수로 표현하였고, 오일러(Leonhard Euler)는 오늘날 쓰고 있는 $f(x)$로 표현했다. 퓨리에(Fourier ), 코시( Cauchy), 로바체프스키(Nikolai Lobachevsky), 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet), 데데킨트(Dedekind)를 거치며 오늘날 우리가 배우는대로 함..
사인, 코사인 법칙
수학이야기/고등수학 2014. 6. 3. 11:52
사인법칙 삼각비를 이용하여 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 알아보자. 삼각형 $ABC$에서 $\angle A ,\; \angle B,\; \angle C$의 크기를 각각 $A,\; B,\; C$로 나타내고, 이들의 대변의 길이를 각각 $a,\; b,\; c$로 나타내기로 한다. 마주보는 각의 크기와 변의 길이는 서로 비례한다는 것은 직관적으로 알 수 있다. 이 관계를 정확하게 나타낸 것이 바로 사인법칙이다. 더보기 $\triangle ABC$ 외접원의 중심을 $O$라 하고 $\angle A$의 크기에 따라 세 경우로 나누어 생각한다. 1) $\displaystyle{0

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