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수학이야기

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Exercises 8.5
수학이야기/미적분 2018. 5. 14. 22:47
오타가 많아서 새로 쳤다. 31 $$\int\frac{2\theta^3 +5\theta^2 +8\theta+4}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta$$ $$=\int\frac{(\theta^2 +2\theta^2 +2)(2\theta+2)-\theta^2}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta$$ $$=\int\frac{2\theta+2}{\theta^2 +2\theta+2}d\theta-\int\frac{\theta^2}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta$$ $$=\ln(\theta^2 +2\theta+2)-\int\frac{\theta^2 +2\theta+2-(2\theta+2)}{(\theta^2 +2\theta+2)^2}d\theta..
역함수로 적분하기 Integrating inverses of functions
수학이야기/미적분 2018. 5. 10. 16:49
어떤 적분은 역함수로 치환하면 쉽게 해결되기도 한다. $$\int f^{-1}(x)dx=\int y f^{\prime}(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy=x f^{-1} (x)-\int f(y)dy$$ $$x=f(y)\quad dx=f^{\prime}(y) dy$$ 보기 $$\int x \ln x dx=\int\ln x d\bigg(\frac{1}{2}x^2\bigg)= \frac{1}{2} x^2 \ln x-\int\frac{1}{2} x^2 \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2} x^2 \ln x-\frac{1}{4} x^2 +C$$ $x=e^y\quad dx =e^y dy$이므로 $$\int x \ln x dx=\int y e^{2y} dy= y \cdot \frac{1}{2} e^{..
부분적분 Integration by parts
수학이야기/Calculus 2018. 5. 10. 12:50
Exercises 8.1
수학이야기/Calculus 2018. 5. 9. 16:16
Thomas' Calculus 연습문제 풀이 8.1
쌍곡함수에서 알아두어야 할 것
수학이야기/Calculus 2018. 5. 3. 11:03
쌍곡함수를 정의했으니 써먹어야 한다. 제대로 쓰기 위해서 알아두어야 할 것을 정리해 둔다. 항등식 $$\cosh ^2 x -\sinh^2 x=1$$ $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$$ $$\cosh 2x=\cosh ^2 x +\sinh^2 x$$ $$\cosh ^2 x= \frac{1}{2}(\cosh2 x+1)$$ $$\sinh ^2 x = \frac{1}{2}(\cosh2 x-1)$$ $$\tanh ^2 x =1-sech ^2 x$$ $$\coth ^2 x =1+csch ^2 x$$ 도함수와 부정적분 $$\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x\quad\quad \int \cosh x dx=\sinh x +C$$ $$\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x\q..

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