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수학이야기

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역함수로 적분하기 Integrating inverses of functions
수학이야기/미적분 2018. 5. 10. 16:49
어떤 적분은 역함수로 치환하면 쉽게 해결되기도 한다. $$\int f^{-1}(x)dx=\int y f^{\prime}(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy=x f^{-1} (x)-\int f(y)dy$$ $$x=f(y)\quad dx=f^{\prime}(y) dy$$ 보기 $$\int x \ln x dx=\int\ln x d\bigg(\frac{1}{2}x^2\bigg)= \frac{1}{2} x^2 \ln x-\int\frac{1}{2} x^2 \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2} x^2 \ln x-\frac{1}{4} x^2 +C$$ $x=e^y\quad dx =e^y dy$이므로 $$\int x \ln x dx=\int y e^{2y} dy= y \cdot \frac{1}{2} e^{..
부분적분 Integration by parts
수학이야기/Calculus 2018. 5. 10. 12:50
Exercises 8.1
수학이야기/Calculus 2018. 5. 9. 16:16
Thomas' Calculus 연습문제 풀이 8.1
쌍곡함수에서 알아두어야 할 것
수학이야기/Calculus 2018. 5. 3. 11:03
쌍곡함수를 정의했으니 써먹어야 한다. 제대로 쓰기 위해서 알아두어야 할 것을 정리해 둔다. 항등식 $$\cosh ^2 x -\sinh^2 x=1$$ $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$$ $$\cosh 2x=\cosh ^2 x +\sinh^2 x$$ $$\cosh ^2 x= \frac{1}{2}(\cosh2 x+1)$$ $$\sinh ^2 x = \frac{1}{2}(\cosh2 x-1)$$ $$\tanh ^2 x =1-sech ^2 x$$ $$\coth ^2 x =1+csch ^2 x$$ 도함수와 부정적분 $$\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x\quad\quad \int \cosh x dx=\sinh x +C$$ $$\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x\q..
$\int \sqrt{1+x^2}dx$ 와 쌍곡함수(Hyperbolic Function)
수학이야기/Calculus 2018. 5. 2. 10:55
치환적분은 여러 가지 어려운 문제를 해결해 준다. 그 가운데 삼각치환은 멋지다. 삼각치환을 넘어 쌍곡치환까지 정리해 둔다. $$\int \sqrt{1+x^2}dx$$ 간단한 꼴이지만 풀려고 나서면 쉽지는 않다. 먼저 삼각치환을 써보자. $$x=\tan\theta\quad\quad dx=\sec^2\theta d \theta$$ 정리하면 $$\int \sqrt{1+\tan^2\theta}\sec^2\theta d \theta=\int \sec^3 \theta d\theta$$ 결국 $I=\int \sec^3 \theta d\theta$의 부정적분을 찾아야 한다. $$I=\int \sec \theta \cdot \sec^2 \theta d\theta=\int \sec\theta \frac{d(\tan \th..

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