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수학이야기

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심화수학 1 종합 문제 226p 풀이
수학이야기/기하벡터 2017. 6. 7. 15:23
1. 정사면체의 두 면이 이루는 각을 $\alpha$, 정팔면체의 두 면이 이루는 각을 $\beta$라고 할 때 $\alpha+\beta$의 값을 구하여라. 풀이 정사면체 각 모서리의 중점을 연결하면 정팔면체가 된다. 따라서 $\alpha+\beta=\pi$이다. 이면각의 정의에 따라 크기를 구해 보면 각각$$\cos \alpha=\frac{1}{3}, \cos\beta=-\frac{1}{3}$$이다. $\cos \alpha+\cos\beta=0$이므로 $\alpha+\beta=\pi$이다. 2. 정삼각형 $ABC$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$이라 하자. 삼각형 $A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}$의 ..
2018학년도 대학수학능력시험 6월 평가원 모의고사
수학이야기/수학능력시험 2017. 6. 4. 19:37
6월 평가원 모의고사 쉽지 않습니다. 올 수능이 비슷하게 나온다면 당황하는 수험생 많을 것으로 여겨집니다. 어렵다고 여겨지는 문제 풀이 올려둡니다. 21. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$에 대하여 $$F(x)=\ln f(x)$$ 라 하고, 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 $$G(x)=\ln g(x)\sin x$$ 라 하자. $$\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)F^{\prime}(x)=3, \;\;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{F^{\prime}(x)}{G^{\prime}(x)}=\frac{1}{4}$$ 일 때, $f(3)+g(3)$의 값은? [4점] 풀이) $$F(x)=\ln f(x)$$에서 $4$차 함수 $f(x)$는 미분가능하고..
정사영
수학이야기/기하벡터 2017. 5. 26. 14:46
정사영(orthogonal projection) 평면 $\alpha$에 있지 않은 한 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $P^{\prime}$라고 할 때, $P^{\prime}$은 점 $P$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이다. 또 도형 $F$에 속하는 각 점의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영으로 이루어진 도형 $F^{\prime}$는 도형 $F$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이다. 점, 직선, 다각형, 구의 평면 위로의 정사영을 생각해 보자. 다음 백과사전 예제 직선 $l$과 평면 $\alpha$가 수직이 아닐 때, 직선 $l$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영 $l^{\prime}$은 직선임을 보여라. 그림과 같이 직선 $l$ 위의 두 점 $A,B$의 평면 $..
정12면체 이면각
수학이야기/기하벡터 2017. 5. 24. 13:44
정12면체의 이웃한 두 면이 이루는 각을 $\theta$라고 할 때, $\cos\theta$의 값을 구해보자. 그림에서 모서리 $NI$에 수직인 직선 $NW$와 $TW$가 이루는 각이 $\theta$이다. 먼저 선분 $NW$의 길이를 구해보자. 아래 정5각형에서 대각선 $NV$의 길이를 $a$라고 하면 $$a:1=1:a-1$$ 에서 $$a=\frac{1+\sqrt5}{2}$$이므로 $$x^2 =\bigg(\frac{1+\sqrt5}{2}\bigg)^2 -\frac{1}{4}=\frac{5+2\sqrt5}{4}$$ 아래 그림은 정12면체를 자른 단면이다. $$\bigg(y-\frac{1}{2}\bigg)^2 +y^2 =x^2$$ $$2y^2 -y -\frac{2+\sqrt5}{2}=0$$ $$4y^2 -2..
이면각
수학이야기/기하벡터 2017. 5. 16. 13:59
두 직선이 이루는 각 한 점에서 만나는 두 직선은 한 평면을 결정하므로 그 평면에서 두 직선이 이루는 각을 정할 수 있다. 한편 꼬인 위치에 있는 두 직선 $l,m$은 한 직선 $l$을 다른 직선 $m$과 한 점에서 만나도록 평행이동한 직선 $l^{\prime}$이 직선 $m$과 이루는 각 가운데 크지 않은 각을 두 직선 $l,m$이 이루는 각으로 정한다. 그림과 같은 정사면체 $ABCD$에서 모서리 $AC$와 $AD$의 중점을 각각 $M$,$N$이라고 할 때, 두 직선 $BM$과 $CN$이 이루는 각을 $\theta$라고 하자. $\cos\theta$의 값을 구하여라. 이면각 직선 $l$을 공유하는 두 반평면 $\alpha,\beta$로 이루어진 도형이 이면각(dihedral angle)이다. 이때 직..

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