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수학이야기

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증명은 어려워
수학이야기/기하벡터 2017. 5. 14. 20:34
힐베르트 공리 20개를 빼고 나머지는 모두 정리이므로 증명해야 한다. 기하를 공부할 때 증명을 어디까지 해야할까 정하는 것이 매우 어렵다. 매번 삼각형 세 내각을 더하면 $180^o$임을 증명하는 것은 무의미하다. 따라서 몇몇 간단한 정리는 마치 공리처럼 증명하지 않고 참으로 받아들인다. 그러나 아무리 간단한 정리라도 한 번은 꼭 증명을 해 보아야 한다. 피타고라스 정리처럼 엄청나게 자주 사용하는 정리를 증명하라고 했을 때 당황하는 학생을 자주 만난다. 기하학에서 증명은 어렵지만 결코 피해갈 수 없는 것이다. 기하학을 단숨에 잘하게 만드는 뾰족한 수는 없다. 오죽하면 왕도가 없다고 했을까? 정리 한 직선에 평행한 두 직선은 서로 평행하다. $$l//m, l//n \Rightarrow n//m$$ 세 직선..
과학고 심화수학1 종합문제 p202풀이
수학이야기/기하벡터 2017. 4. 12. 17:57
1. 한 원과 포물선은 교점을 $0,1,2,3,4$개 가질 수 있다. 주어진 원 $x^2 +y^2 =4$과 포물선 $y=x^2 +C$의 교점의 개수를 $C$에 따라 분류하여라. 풀이 그림을 그려서 접하는 경우를 찾아서 해결하면 되므로 따로 적지 않는다. 2. 포물선 위의 점을 중심으로 하고 초점을 지나는 현을 지름으로 하는 원은 그 포물선의 준선에 접합을 보여라. 풀이 포물선 정의에 따라 쉽게 해결할 수 있으므로 따로 적지 않는다. 3. 포물선 $y^2 = 2x$의 초점 $F$를 지나고 그 끝점이 포물선 위에 있는 두 선분 $\overline{AB},\overline{CD}$가 서로 직교하고 있다. 이 때 $$\frac{1}{\overline{AF}\cdot \overline{BF}}+\frac{1}{\..
회전변환
수학이야기/기하벡터 2017. 4. 6. 09:01
1차 변환 가운데 하나인 회전변환을 탐구해 보자. 삼각함수의 덧셈정리를 알고 있다면 아주 간단하게 증명할 수 있다. 여기서는 그냥 그림으로 설명해 보려고 한다. 그림에서 점 $P$를 원점을 중심으로 $\theta$ 회전한 점을 $P^{\prime}$이라고 하자. 점 $Q$를 회전한 점을 생각하면 아래와 같이 간단하게 정리할 수 있다. 벡터까지 배웠다면 훨씬 쉽게 이해하고 증명할 수 있을 것이다. 아무튼 회전변환을 행렬로 나타내면 아래와 같다. $$\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{..
2차 곡선의 회전
수학이야기/기하벡터 2017. 4. 5. 17:00
$xy-1=0$은 쌍곡선이다. 이 쌍곡선을 조금 더 자세하게 알아보자. 꼭짓점 $A,B$은 직관적으로 찾을 수 있다. 초점을 찾아보자. 꼭짓점 $A(1,1)$에서 접선 $y=-x+2$이 점근선은 $x=0$과 만나는 점 $C(0,2)$라고 하면 원점이 중심이고 반지름이 $2$인 원을 그려서 초점 $F,F^{\prime}$를 찾을 수 있다. 그림에서 두 초점이 좌표축 위에 있도록 좌표축을 $45^{\circ}$ 회전한다면 점근선이 $y=\pm x$이고 초점이 $(\pm2,0)$이 쌍곡선이 될 것이므로 방정식은 $$\frac{{\sqrt 2 }^2}-\frac{{\sqrt 2 }^2}=1$$ 이다. 이와 같이 좌표축을 적당히 회전하면 초점이 축 위에 있는 간단한 방정식으로 표현할 수 있다. 좌표축을 $45^{..
포물선의 포락선(Envelope)
수학이야기/기하벡터 2017. 3. 15. 11:17
정리 포물선에서 준선 위의 점 $D$와 초점 $F$의 수직이등분선은 포물선에 접한다. 먼저 포물선 정의에 따라 기하적인 증명을 해보자. 증명보기 1 선분 $DF$의 수직이등분선을 $l$이라 하자. 준선 위의 점 $D$에서 준선에 수직인 직선을 $m$이라 하자. $l$과 $m$이 만나는 점을 $P$라고 하자. $$\overline{PD}=\overline{PF}$$ 이므로 점 $P$는 포물선 위의 점이다. 이제 직선 $l$이 포물선과 $P$가 아닌 다른 점 $P^{\prime}$에서 만난다고 하자. $$\overline{P^{\prime}D}=\overline{P^{\prime}F}\;\;(\because p^{\prime}\in l)$$ 점 $P^{\prime}$에서 준선에 내린 수선의 발을 $H$라고 ..

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