'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (89 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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꼬인위치에 있는 두 직선 사이 거리
수학이야기/기하벡터 2017. 7. 19. 13:56
평행하지 않은 두 공간벡터 $\vec{u_1},\vec{u_2}$와 서로 다른 두 점 $P_1 ,P_2$에 대하여 두 직선이 다음과 같이 주어져 있다. $$g_1 :\overrightarrow{OP_1}+t\vec{u_1}, \;\;g_2:\overrightarrow{OP_2}+t\vec{u_2}$$ 이 때 두 직선사이의 거리는 $$\frac{|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\vec{u_1}\times\vec{u_2})|}{|\vec{u_1}\times\vec{u_2}|}$$ 임을 보여라. 아래 그림과 같이 두 직선은 각각 점 $P_1 ,P_2$를 지나고 방향벡터가 $\vec{u_1},\vec{u_2}$인 직선이다. 두 직선 사이 거리는 두 직선 위의 점을 잇는 선분 길이의 최솟값이..
다각수(polygonal numbers)
수학이야기 2017. 7. 12. 16:01
아래의 그림과 같이 점의 수를 늘려가면서 다각형 모양의 배열을 계속해서 만들어 갈 때, 각각의 다각형 모양의 배열을 만드는 점의 수를 “다각수(polygonal numbers)”라고 한다. 모든 다각형은 삼각형으로 나눌 수 있으므로 다각수는 삼각수로 표현할 수 있다. 보기를 들면 아래 그림처럼 사각수는 삼각수로 나눌 수 있다. 변이 $s$개인 $s$-각수를 차례대로 늘어 놓은 수열에서 $n$번 째 항을 $P(s,n)$이라 한다면 위 그림은 아래와 같이 표현할 수 있다. $$P(4,n)=T_{n-1}+T_n$$ 이것을 일반화하면 $$P(s,n)=\frac{n^2 (s-2)-n(s-4)}{2}$$ 또는 $$P(s,n)=(s-2)\frac{n(n-1)}{2}+n$$ 이다. 삼각수 수열을 $T_n$이라고 한다면..
평면벡터의 내적
수학이야기/기하벡터 2017. 6. 15. 11:30
영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}=\vec{OA},\vec{b}=\vec{OB}$라고 할 때, $\theta=\angle AOB(0\leq\theta\leq\pi)$를 벡터가 이루는 각의 크기로 한다. 이때 스칼라 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$를 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 내적(inner product)이라 하고 기호로 아래와 같이 적는다. $$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$ 두 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각의 크기를 알면 당연히 내적을 구할 수 있지만 벡터의 성분을 이용하여 내적을 구할 수 있다. 그림에서와 같이 $\vec{a}$가 $x$축과 이루는 각의 크기를 $\beta$, $\vec{b}$가..
벡터 외적(Cross product)
수학이야기/기하벡터 2017. 6. 14. 18:02
공간도형에서 평면 방정식은 법선벡터를 구해야 알 수 있다. 다르게 표현하면 평면 위에 있는 두 벡터에 동시에 수직인 벡터를 구해야 한다. 공간에 있는 세 점 $A(1,2,-1), B(-2,1,3), C(-1,0,1)$을 지나는 평면 방정식을 구해 보자. 법선벡터를 $\vec{n}=(a,b,c)$라고 하자. $\overrightarrow{AB}=(-3,-1,4),\;\;\overrightarrow{AC}=(-2,-2,2)$이고 $$\vec{n}\bot\overrightarrow{AB},\;\;\vec{n}\bot\overrightarrow{AC}$$ 이므로 $$-3a-b+4c=0,\;\;-a-b+c=0$$ $2a-3c=0$에서 $\displaystyle{\frac{a}{3}=-\frac{c}{2}}$이므로..
벡터 성분(vector component)
수학이야기/기하벡터 2017. 6. 12. 17:41
평면 또는 공간에서 한 점 $O$를 고정하면 임의의 벡터 $\overrightarrow{a}$에 대하여 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$가 되는 점 $A$의 위치가 오직 하나로 정해진다. 역으로 임의의 점 $A$에 대하여 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$가 되는 벡터 $\overrightarrow{a}$가 오직 하나로 정해진다. 이와 같이 시점을 한 점 $O$에 고정하고 점 $A$를 종점으로 하는 벡터 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$를 점 $A$의 위치벡터라고 한다. 일반적으로 위치벡터의 시점은 원점으로 잡는다. $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}..

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