수학과 사는 이야기

서로 외접하는 원이 있을 때 바깥에 있는 원이 안쪽에 있는 원과 접하면서 구른다고 하자. 이 때 바깥 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 에피사이클로이드 곡선이다. 두 원의 반지름을 각각 $R$, $r$이라 하자. 이 곡선은 두 원의 반지름이 이루는 비 $k$ $(R=kr)$에 따라 아래와 같은 모양이 된다. 이제 방정식을 구해보자. $$l_R=R\theta=r\alpha=l_r$$ $$\alpha=\frac{R\theta}{r}$$ 점 $P$의 좌표 $(x(\theta),y(\theta))$는 아래와 같이 매개변수를 써서 나타낼 수 있다. $$x(\theta)= (R+r)\cos\theta-r\cos(\theta+\alpha) = (R+r)\cos\theta-r\cos\bigg(\frac{R+r}{..

17세기 변분법(calculus of variation) 문제가 있다. 수직으로 세워진 평면 위에 두 점이 있다. 어떤 물체가 어느 한 점에서 나머지 다른 점까지 움직인다고 하자. 이 운동은 오로지 질량에만 의존한다고 가정할 때, 가장 짧은 시간에 다른 점에 이를 수 있는 곡선을 찾아라. 위 문제는 다음을 가정한다. 중력 가속도는 크기와 방향이 정해져 있고 물체는 질량만 있으며 마찰이나 관성 모멘트는 무시한다. 또한 에너지가 추가되거나 사라지지 않는다. 베르누이가 매우 영리한 분석으로 정답은 사이클로이드임을 증명하고 다른 수학자들에게 문제로 냈는데 뉴턴, 라이프니츠, 로피탈이 성공했다고 한다. 특히 뉴턴은 단 하루 만에 해결했다고 하니 수준이 다른 사람이다. 파스칼은 사이클로이드 공부하다가 치통을 잊었다..

하이포사이클로이드는 사이클로이드에서 한발 더 나간 곡선이다. 두 원이 있을 때 작은 원이 큰 원에 내접하면서 구른다고 하자. 이때 작은 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 하이포사이클로이드(hypocycloid)이다. 자취를 식으로 나타내 보자. 두 원의 반지름이 각각 $R,r(R>r)$이라고 하자. 작은 원이 큰 원에 접하면서 $\alpha$ 회전했을 때, 작은 원 중심은 큰 원의 중심을 중심으로 $\theta$ 회전했다고 하자. 원 위의 점은 $P(x(\theta),y(\theta))$라고 하고 시작은 $x(0)=R, y(0)=0$이라고 하자. $$r\alpha=R\theta$$ 이제 작은 원 중심 $A$를 지나고 $x$축과 평행한 직선과 $\overline{AP}$가 이루는 각을 $\phi$라고..

사이클로이드란? 구르는 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취를 사이클로이드라고 부른다. 위키백과로 가기 그림에서 원점과 접해있던 반지름이 1인 원이 $x$축을 따라 $t$만큼 굴러갔을 때 원점과 접해있던 점이 $P$가 되었다고 하자. 점 $P$를 방정식으로 나타내면 $x=t-\sin t, \quad y=1-\cos t$이다. 사이클로이드가 가진 성질들 사이클로이드 곡선 위에 있는 어떤 점에서 출발하여도 바닥에 다다르는 시간은 같다. 때문에 등시 곡선이라고도 부른다. 또한 사이클로이드는 가장 빠르게 떨어지는 자취가 된다. 얼핏 생각하면 직선이 거리가 짧으므로 더 빠르다고 여겨질 수 있지만 사이클로이드를 따라 떨어지는 것이 가장 빠르다. 따라서 집을 지을 때 지붕을 사이클로이드가 되도록 올리면 빗물을 가장 ..