아래로 볼록과 위로 볼록

중학교 3학년 책에서 이차함수 $y=x^2$의 그래프는 아래로 볼록하고 $y=-x^2$의 그래프는 위로 볼록하다고 말한다. 중학교에선 곡선의 요철을 엄밀하게 정의하지 않고 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가면 된다. 하지만 같은 뜻을 가지는 위로 오목과 아래로 오목하다는 말은 직관적으로 이해하기 어려우므로 쓰지 않으면 좋겠다. 그런데 궁금하게 여기는 학생도 있을 것이므로 간단하게 정리해 둔다. 엄밀한 정의는 맨 아래 연결된 글을 참고하면 된다.

볼록다각형

먼저 볼록은 볼록다각형에서 처음으로 등장한다. 볼록다각형과 오목다각형은 내각의 크기로 쉽게 구분할 수 있다. 

• 볼록다각형: 모든 내각의 크기가 $180^{\circ}$보다 작다.
• 오목다각형: 어떤 내각의 크기가 $180^{\circ}$보다 크다.

쉽게 말하면 볼록이 아니면 오목이다. 영어로 볼록(convex)과 오목(concave)도 쉽게 와닿는 용어는 아니다.

조금 더 엄밀하게 정의하기 위해선 집합이 필요하다. 중학생 수준에선 선분으로 이야기하는 것이 좋겠다. 어떤 다각형과 내부에 있는 서로 다른 두 점을 잇는 선분을 생각하자. 그 선분 위에 있는 모든 점이 다각형과 내부에 있다면 볼록다각형이다.

볼록한 영역

이 개념을 영역으로 확대하면 된다. 곡선으로 나뉜 두 영역을 보고 정해보자. 

 

곡선의 볼록

곡선은 평면을 두 개의 영역으로 나눈다. 어느 한쪽이 볼록이면 다른 한쪽은 오목이다. 따라서 곡선의 볼록을 말할 때는 방향을 함께 이야기해야 한다. 함수의 그래프처럼 위와 아래가 있을 때는 서로 다른 두 점을 잇는 선분보다 곡선이 있는 위치에 따라 위로 볼록과 아래로 볼록을 구별한다. 

1. 아래로 볼록(위로 오목)

2. 위로 볼록(아래로 오목)

어떻게 해도 헷갈리기는 마찬가지다. 신경 써서 이해하는 수 밖에... 아무래도 볼록이 직관적으로 이해하기 쉬우므로 볼록을 먼저 이해하고 오목은 반대로 바꾼다고 생각하는 것이 좋다.

https://www.mathsisfun.com/definitions/concave.html

Concave Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)

https://suhak.tistory.com/221

볼록 함수와 젠센 부등식

https://suhak.tistory.com/521

미분으로 할 수 있는 일 2