여러 가지 수열의 합

네 시작은 미약하였으나 그 끝은 창대하리라!

처음 들었을 때 매우 인상 깊었던 성경 구절이다. 알고 보면 다른 뜻으로 해석되는데 나는 수학 공부를 여기에 빗대어 이야기하길 좋아한다. 수학은 그저 숫자를 세고, 센 숫자를 더하고 빼는 것에서 출발했다. 수학이 아름다운 까닭은 세상에서 가장 간단한 것으로 가장 복잡한 일을 해결하는 학문이기 때문이다.

수열을 보자. 아무리 어려운 수열도 정의역이 자연수인 함수에 불과하다. 자연수는 초등학생도 쉽게 이해하는 수이므로 결국 초등생도 이해할 수 있는 단원인 셈이다. 물론 평범한 아이에겐 시간이 좀 많이 필요하겠지만 일반적으로 다루지 않고 특정한 숫자까지만 생각한다면 너무 어려워서 이해하지 못할 부분은 전혀 없다.

아주 옛날에 쓴 글을 참고하여 다시 정리해 본다. 

자연수의 합은 삼각수

아래와 같이 삼각형 모양으로 늘어놓은 점의 개수를 삼각수라고 부른다.

다섯 번째 삼각수는 $1+2+3+4+5$이다. 

이렇듯 자연스럽게 수열과 연결된다. $n$번 째 삼각수를 $P_3(n)$이라고 하자. 

$$P_3(n)=1+2+3+4+\cdots+n$$

삼각수는 자연수의 합으로 나타낼 수 있다.

$$\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k=n\times(n+1)$$

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\tag{1}$$

결국 모든 등차수열의 합은 삼각수로 구할 수 있음을 깨달을 수 있다.

자연수의 거듭제곱은 사각수

아래와 같이 이웃하는 두 삼각수를 더해서 사각수 $P_4(n)$를 만들 수 있다.

$$P_4(n)=P_3(n-1)+P_3(n)=\frac{1}{2}(n-1)n+\frac{1}{2}n(n+1)=n^2$$

자연수를 거듭제곱한 수는 완전제곱수 또는 사각수라고 부르기도 한다. 완전제곱수는 정사각형의 넓이로 생각할 수도 있지만 아래와 같이 사각형 모양으로 늘어선 점의 개수인 사각수로 생각할 수도 있다.

 

사각수는 자연수의 덧셈으로

$$n^2=n\times n=\underbrace{n+n+n+\cdots+ n+ n}_{n개}\tag{2}$$

사각수의 합

자연수를 거듭제곱한 수의 합은 아래와 같이 해석할 수도 있다.

$$\begin{split}\sum_{k=1}^{6}&=1^2 +2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\\&=1\times1+2\times2+3\times 3+\cdots+6\times6\\&=1+(2+2)+(3+3+3)+\cdots+(6+6+6+6+6+6)\end{split}$$

아래와 같은 정삼각형 모양의 틀을 만들었다.

(2)과 같이 해석하여 아래와 같이 채운다.

 $$k^2=k\times k=\underbrace{k+k+k+\cdots+k+k}_{k개}$$ 

숫자를 위치만 바꿔서 다시 적어도 당연히 값은 달라지지 않는다. 삼각형의 세 꼭짓점에서 각각 1부터 배열한 그림을 포갠다고 생각하자. 같은 자리에 있는 세 수를 더하면 모두 13이 나온다. 마지막 그림을 보면 사각수의 합은 결국 삼각수의 합으로 나타낼 수 있다.

$$3\sum_{k=1}^{6} k^2=13\times (1+2+3+4+5+6)=13\times 21$$

$$\sum_{k=1}^{6} k^2=91$$

이것을 일반화하면 아래와 같은 공식을 얻을 수 있다.

$$3\sum_{k=1}^{n} k^2=(2n+1)(1+2+3+\cdots+n)=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$$

$$\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\tag{3}$$

세제곱의 합

사각수 그림이다.

\begin{split}1\\1+2+1=2^2\\1+2+3+2+1=3^2\\1+2+3+4+3+2+1=4^2\end{split}

$$1+2+3+\cdots+(n-1)+n+(n-1)+\cdots+3+2+1=n^2$$

아래 그림을 참고하여 자연수 세제곱의 합을 알아보자.

$$\begin{split}\sum_{k=1}^{4} k^3 &=1^3 +2^3 +3^3 +4^3\\&=1+2(1+2+1)+3(1+2+3+2+1)+4(1+2+3+4+3+2+1) \\&=1+(2+4+2)+(3+6+9+6+3)+(4+8+12+16+12+8+4)\end{split}$$

 

그림과 같이 더하는 순서를 다시 배열하면 오른쪽에 있는 식을 모두 더한 것과 같다.

$$\begin{split}(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+4(1+2+3+4)\\=(1+2+3+4)(1+2+3+4)\end{split}$$

$$\therefore \sum_{k=1}^{4} k^3 =(1+2+3+4)^2 =\bigg( \sum_{k=1}^{4} k \bigg)^2$$이다.

자연수 세제곱의 합은 이를 일반화하면 된다.

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \bigg( \sum_{k=1}^{n} k \bigg)^2 = \bigg( \frac{1}{2} n(n+1) \bigg)^2$$

 

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다각수(polygonal numbers)를 정리하다

 

https://suhak.tistory.com/173

자연수 거듭제곱의 합