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수학이야기

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수학이 우리에게 주는 선물
수학이야기 2014. 9. 15. 13:42
수학은 우리에게 사랑을 키우거나 미움을 없애는 법을 가르쳐주진 못하지만 모든 문제엔 해답이 있다는 희망을 준다.
정의와 공리 그리고 정리
수학이야기 2014. 9. 1. 12:22
수학에는 정의(Definition)와 공리(Axiom) 그리고 정리(Theorem)가 있다. 공리(Axiom) 그리스말 ἀξίωμα에서 비롯된 말이다. 수학책의 모범으로 생각하는 유클리드 원론을 생각하면 이해가 쉽다. 원론은 먼저 점, 선, 면, 원과 같은 것을 정의한다. 다음으로 5개의 공준과 5개의 공리를 쓰고 그 아래 이어지는 명제를 하나씩 차례로 증명하고 있다. 앞에 증명된 명제로만 증명할 수 있도록 순서를 매겨 놓았다. 2300년쯤 전에 이런 책을 쓸 수 있었다는 것이 그저 놀라울 따름이다. 원론이 나온 다음부터 수학을 공부하는 이는 모두 유클리드를 따랐다. 정의를 내리고 공리를 정하고 정리를 이끌어 낸다. 공리는 서로 모순이 없어야 하고 다른 모든 정리를 이끌어 낼 수 있어야 한다. 그러나 그..
새로운 방법으로 표현된 산술 원리
수학이야기 2014. 8. 28. 11:14
이탈리아 수학자 주세페 페아노(Giuseppe Peano)는 자연수 공리계를 세운 이로 유명하다. 그가 쓴 에 나오는 페아노 공리는 아래와 같다. 페아노 공리는 $N$ 또는 $\mathbb{N}$로 나타내는 자연수 집합에서 산술 원리를 정의한다. 상수 $0$과 함수 뒤따라 오는 수(따름수:successor)를 정의하는 함수 $S$로 이루어져 있다. (쉽게 나타내면 $S(n)=n+1$이다.) $0 \in \mathbb{N}$ $\forall x\in \mathbb{N}\;\;\;\; x = x$ 등호는 반사관계(reflexive)이다. $\forall \;x,y\;\;\in \mathbb{N}\;\;\; x = y \;\Rightarrow \;y = x$ 등호는 대칭관계(symmetric)이다. $\for..
적분이 별 거냐!
수학이야기/Calculus 2014. 8. 27. 15:48
우연히 보게 된 동영상이 재밌다.
2권_법칙11_황금비의 작도
수학이야기/유클리드원론 2014. 8. 12. 09:02
유클리드 원론 2권 법칙 11은 아래와 같다. 어떤 직선을 주었을 때, 그 직선을 적당히 잘라 전체 길이와 한 토막으로 만든 직사각형이 다른 토막을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같도록 만드시오. 직선 AB를 잘라서 보이기로 한다. AB를 가지고 정사각형 ACDB를 만든다.(1권 법칙 46) AC의 중점 E를 잡고 직선 BE를 긋는다. 직선 CA를 늘이고 EB와 EF의 길이가 같도록 점 F를 잡는다. AF를 가지고 정사각형 FAHG를 만든다. GH를 늘여서 HI를 긋는다. 이제 AB와 HB로 만든 직사각형이 AH로 만든 정사각형과 넓이가 같음을 보이기로 한다. 점 E는 AC를 이등분하고 거기에 FA를 더했으므로 CF와 FA로 만든 직사각형에 AE로 만든 정사각형을 더하면 EF로 만든 정사각형과 넓이가 같..

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