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수학이야기

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수학으로 예술가 되기
수학이야기 2020. 1. 9. 16:53
아주 우연히 알게 된 아포피시스를 가지고 놀다가 자꾸 욕심이 커진다. 프랙탈 아트는 타고난 재능이 없어도 되지 않을까! 수학으로 예술이라니 놀랍지 아니한가? 프로그램 쓰는 법을 정리해 본다. 프랙탈(fractal)이란 무엇인가? 프랙탈은 위에 있는 그림처럼 전체와 닮은 모양을 가진 도형이 끊임없이 되풀이되면서 나타나는 도형이다. 아주 복잡한 해안선을 연구하다가 만든 개념이다. 요즘은 중학교에서 시어핀스키 삼각형, 코흐 눈송이, 맹거 스펀지를 다루고 있어서 많이들 알고 있다. 좀 어렵게 말하자면 분수 차원을 가지는 유클리드 공간의 부분집합인 도형이다. 만델브로트 집합은 아래와 같다. 프랙탈(fractal)로 예술하기 위에 있는 만델브로트 집합은 복소 평면에 그린 그림이다. 프랙탈 아트는 같은 방식을 활용하..
프랙탈 그리는 프로그램 Apophysis
수학이야기 2020. 1. 8. 15:46
프랙탈은 끊임 없이 자기 복제가 일어나는 모양을 가진 도형이다. 만델브로트 집합, 시어핀스키 삼각형, 코흐 눈송이와 같은 도형이 있다. 프랙탈 도형으로 만드는 예술을 맛볼 수 있는 프로그램 아포피시스를 내려 받아서 잠깐 가지고 놀았다. 쉽지 않다. 아래와 같은 꽃을 그리려면 많은 훈련을 해야 할 듯하다. 우선 설명서를 받아서 연습에 들어 간다. https://sourceforge.net/projects/apophysis7x/ Apophysis 7X Download Apophysis 7X for free. A version of the fractal flame editor Apophysis which is ready to take advantage of modern versions of Microsoft ..
피타고라스 나무
수학이야기 2019. 12. 24. 11:34
프랙탈 도형인 피타고라스 나무가 있다. 만드는 일은 아주 단순하다. 정사각형 하나를 그린다. 빗변이 되는 한 변을 고르고 적당한 각으로 직각삼각형을 그린다.(꼭 직각삼각형이 아니라도 나무는 그려진다.) 나머지 두 변에 정사각형을 그린다. 같은 일을 되풀이 한다. 아래 연결고리를 눌러서 움직이는 그림으로 보자. 움직이는 그림으로 보기 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형의 한 꼭짓점을 원점으로 삼각형의 한 각을 $\alpha$라 하자. 정사각형의 점을 $\mathbf{x}$라고 하면 아래와 같은 함수로 새로 그리는 정사각형의 점을 구할 수 있다. 왼쪽에 있는 정사각형의 점은 원점을 중심으로 시계반대방향으로 $\alpha$ 회전변환하고 닮음비가 $\cos \alpha$인 닮음변환한 다음 $y$..
스토크스 정리를 정리하자
수학이야기/Calculus 2019. 12. 17. 16:42
보통 대학 1학년에서 배우는 미적분학 교재는 대부분 스토크스 정리(Stokes' theorem)가 맨 마지막에 나온다. 스토크스 정리를 완전하게 이해하면 초급 미적분학을 다 배운 것이나 마찬가지다. 이미 스토크스 정리를 정리해 두었으나 댓글로 다양체와 관련된 정리를 부탁한 분이 있어서 위키백과를 살펴 보고 다시 정리해 둔다. https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem Stokes' theorem - Wikipedia This article is about the generalized theorem. For the classical theorem, see Kelvin–Stokes theorem. For the equation governing viscous dra..
딸을 위한 피타고라스 정리 증명
수학이야기/중학수학2 2019. 11. 26. 14:26
중학교 2학년인 딸이 이제 막 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 배우고 있다. 증명 1. 가장 유명한 증명인 '신부의 의자'다. 지오지브라로 보기 증명 2 아래 첫 번째 그림에서 직각 삼각형 둘을 회전하면 두 번째 그림이 된다. 넓이는 달라지지 않으므로 $a^2 +b^2 =c^2$이다. 지오지브라로 보기 증명 3. 닮음으로 증명 $$\triangle ACD \sim \triangle CBD \sim ABC $$ $$c:a=a:DB\Rightarrow a^2 =c \times DB$$ $$c:b=b:AD \Rightarrow b^2 =c \times AD$$ $$a^2 +b^2 = c \times DB +c \times AD =c \times (DB + AD)=c^2$$ 이것은 1번 ..

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