'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (61 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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스토크스 정리와 발산 정리
수학이야기/Calculus 2019. 11. 25. 19:18
스토크스 정리(Stoks' theorem)는 3차원에서 그린 정리라 생각하면 된다. $S$는 구간별로 매끄러운 곡선으로 닫힌 구간별로 매끄러운 단순 곡면이라 하자. 곡면의 방향은 경계인 곡선의 양의 방향을 유도한다. $F$는 곡면 $S$를 포함한 $\mathbb{R}^3$의 열린 영역에서 정의된 연속인 편도함수를 가진 벡터장이라고 하면 $$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{r}=\iint \limits_{S} \text{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}$$ 증명 특별한 경우 곡면 $S$는 아래와 같이 주어졌다고 하자. $$z=g(x,y),\quad (x,y) \in D$$ $g$는 연속인 이계 편도함수를 가지고 $D$는 곡선 $C$의 평면 위로의 ..
미적분이 없는 세상은 슬픔 아니면 기쁨?
수학이야기/기하벡터 2019. 11. 24. 02:13
구적법은 영어로 quadrature이다. 아르키메데스는 소진법(exhaustion)으로 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했다. 요즘이야 고등학교에서 배우는 미적분으로도 아주 간단하게 구할 수 있다. 아르키메데스는 어떻게 했을까? 좌표도 미적분도 없이 포물선과 직선 사이의 넓이를 구하는 일은 생각보다 쉽지 않지만 미적분과 다른 또 다른 재미가 있다. 좌표가 얼마나 고마운 도구인가 새삼스레 깨달을 수 있다. 온통 미적분으로 가득찬 현대 수학이 지루해진 사람을 위해 그리스 기하학이 품고 있는 즐거움을 보여주고 싶은 마음으로 위해 정리해 둔다. 엔틱이 유행이니 고전 가운데 고전인 그리스 기하학을 잠깐 구경해 보자. 구적법이란? 구적법(quadrature)은 주어진 도형과 넓이가 같은 정사각형을 찾는 ..
아르키메데스와 포물선
수학이야기/기하벡터 2019. 11. 20. 16:24
아래와 같이 아르키메데스(?. 287 – ?. 212 BC)는 구적법으로 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구했다. 아르키메데스 소진법으로 부르는 방법을 보면 왜 그의 이름이 수쳔 년간 기억되는가 알게 된다. 기원전에 어찌 이런 생각을 했을까 정말 놀랍다. 정의 포물선 단면(parabolic segment) 그림과 같이 포물선을 자르는 선분 $AB$와 잘린 포물선으로 둘러싸인 도형이다. 이때 선분 $AB$ 가장 멀리 떨어진 점 $P$를 꼭짓점(Vertex)이라 한다. 멋진 풀이를 맛보려면 먼저 포물선이 가지고 있는 성질을 몇 가지 정리해야 한다. 포물선 위에 있는 점은 준선과 초점에 이르는 거리가 같다. 정리 1. 준선 위에 있는 점과 초점을 수직이등분하는 선은 포물선에 접한다. 정리 2. 그림에..
곡선좌표계(Curvilinear coordinates)와 면적분(Surface integral)
수학이야기/Calculus 2019. 11. 19. 13:28
곡선좌표계는 극좌표나 구면좌표계와 같이 직교좌표(Cartesian coordinates)를 변환한 좌표계이다. $$F:\;\;(x,y)\rightarrow (u,v)$$ https://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates Curvilinear coordinates - Wikipedia From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Coordinate system whose directions vary in space Curvilinear (top), affine (right), and Cartesian (left) coordinates in two-dimensional space..
벡터장의 그린 정리
수학이야기/Calculus 2019. 11. 18. 14:34
아래와 같이 $xy$평면에 벡터장이 주어져 있다. $$F(x,y)=M(x,y) \mathbf{i}+ N(x,y) \mathbf{j}$$ 아래 그림과 같은 직사각형의 변을 따라 움직이는 유체의 순환을 계산해 보자. 먼저 시계반대방향으로 움직인다고 하자. 아랫변을 따라 움직일 때는 아래와 같이 근사할 수 있다. $$(F(x+\Delta x)-F(x,y))\Delta x \approx F(x,y)\cdot \mathbf{i} \Delta x = M(x,y) \Delta x$$ 마찬가지로 근삿값을 정리하면 아래와 같다. $$\begin{split} & \text{윗변} \quad & F(x,y+\Delta y)\cdot (\mathbf{-i}) \Delta x = -M(x,y+\Delta y) \Delta x ..

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