'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (63 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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오일러 감마 함수(Euler's Gamma Function)와 정규분포
수학이야기/Calculus 2019. 11. 6. 08:29
정의 $\forall k>0$에 대하여 감마 함수는 아래와 같이 주어진 함수다. $$\Gamma(k)=\int_{0}^{\infty}t^{k-1}e^{-t}dt$$ 오일러가 찾아낸 감마 함수는 미분방정식이나 통계에서 여러 가지 쓸모가 있다. 이 함수는 해석적인 복소함수이지만 복잡함을 피하기 위해 $k$를 실수라 생각하기로 하자. 먼저 부분적분으로 감마 함수가 가진 성질을 알아 보자. 정리 $$\Gamma(k+1)=k \Gamma(k)\tag{1}$$ 증명$$\begin{split} \Gamma(k) & = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{k-1} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} k^{-1} d t^{k} \\ &=\bigg[ k^{-1} e^{-t} t^k \big..
2019학년도 카이스트 면접문제
수학이야기/면접논술 2019. 11. 5. 12:04
지난해 출제된 문제다. 에피사이클로이드는 해마다 나온다고 밀던 문젠데 진짜로 나왔다. 올해는 어떤 문제가 나올까 궁금하다. 더보기를 누르면 풀이를 볼 수 있다.문제 1.반지름이 1인 반원 2개와, 가로와 세로의 길이가 각각 $\pi$, 2인 직사각형으로 이루어진 트랙(아래 그림)에 반지름이 $1/n$인 작은 원이 외접하여 돌고 있다.작은 원이 트랙을 한 바퀴 돈다고 할 때, 작은 원 위에 고정된 한 점이 그리는 궤적을 생각해 보자. $n$은 짝수라고 하자. (총 4점)(1) 이 궤적으로 둘러싸인 면적의 $n$이 무한대로 갈 때의 극한값을 구하고, 그에 대한 논리적 근거를 설명하시오.(2) 이 궤적의 곡선의 길이를 구하고, $n$이 무한대로 갈 때의 극한값을 구하시오.더보기풀이 1) 문..
확률과 통계에 쓰는 정의
수학이야기/확률통계 2019. 11. 4. 11:00
실험(experiment)은 결과가 미리 정해져 있지 않고 무작위로(random) 결정되는 현상을 관찰하는 과정이다. 시행(trial)은 실험을 수행하는 일이고 실험으로 얻는 결과는 경우(outcome)라 부른다. 정의 표본공간(sample space)은 실험을 시행한 결과로 얻는 모든 경우를 원소로 가지는 집합이다. 보통 $S$로 적는다. 표본공간이 유한 또는 셀 수 있는(countable) 무한집합일 때를 이산(discrete) 표본공간이라 한다. 사건(event)는 표본공간의 부분집합이다. $A \subset S$ 원소 개수가 단 하나인 사건을 근원사건(elementary event)라 한다. $n(A)=1$ 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어나지 않으면 $A \cap B=\phi$을 서로소(m..
볼테라 적분 방정식(Volterra integral equation)
수학이야기/Calculus 2019. 10. 30. 14:03
적분 방정식은 적분 기호 안에 모르는 함수가 들어 있는 방정식이다. 그 가운데 널리 알려진 아래 방정식은 볼테라 적분 방정식으로 부른다. $f(t)$는 모르는 함수이고 $g(t),h(t)$는 알려진 함수이다. $$f(t)=g(t)+\int_{0}^{t} f(t)h(t- \tau) d\tau$$ 보기 $$f(t)=3t^2 -e^{-t}-\int_{0}^{t} f(\tau)e^{t-\tau}d \tau$$ 풀이 라플라스 변환을 하자. $$\mathscr{L} \{ f(t) \}=3 \mathscr{L} \{t^2 \}- \mathscr{L}\{ e^{-t} \} - \mathscr{L} \{ f(t) \} \mathscr{L} \{ e^t \}$$ $$\begin{split} F(s) &=3 \cdot \f..
라플라스 변환 정리 갈무리
수학이야기/Calculus 2019. 10. 30. 09:28
갑자기 라플라스 변환을 써야 할 때 찾아보기 쉽게 정리해 둔다. 정의 함수 $f$의 라플라스 변환은 $t \geq 0$에서 정의된 함수를 아래와 같이 적분했을 때, 이 적분의 극한이 되는 함수다. $$F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^{b} e^{-st} f(t) dt$$ 이것을 기호로는 $\mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)$로 적는다. 첫 번째 변환 정리 $a\in \mathbf{R}, F(s)=\mathscr{L}\{ f(t) \}$ $$\mathscr{L}\{ e^{at} f(t) \}= \mathscr{L}\{ f(t) \}_{s \rightarrow s-a}=F(s-a) \tag{1..

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