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수학이야기

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경로 독립, 보존장 그리고 포텐셜 함수
수학이야기/Calculus 2019. 11. 17. 14:49
중력장 $G$는 질량이 있는 물체에 작용하는 힘 $F=mG$에 따라 결정된다. 마찬가지로 전기장 $E$도 $F=qE$에 따라 결정된다. 중력장과 전기장 안에서 움직이는 물체에 가해지는 일은 경로에는 영향을 받지 않고 시작과 끝점의 위치에 따라 결정된다. 이런 상황을 경로 독립이라 정의하자. 정의 열린 영역 $D$에서 정의된 벡터장 $F$이 주어졌을 때 점 $A$에서 점 $B$까지 모든 곡선 $C$에서 선적분 $\int_{C} F \cdot d \mathbf{r}$이 모두 같다면 영역 $D$에서 경로 독립이라 하고 $F$는 보존장이라 한다. 정의 $F$가 열린 영역 $D$에서 정의된 벡터장이고 스칼라 함수 $f$에 대하여 $F=\nabla f$를 만족하면 $f$를 $F$의 포텐셜 함수라 한다. 정리 1 $..
지오지브라로 벡터장 나타내기
수학이야기 2019. 11. 15. 09:07
아래와 같은 벡터장을 지오지브라로 나타내 보자. $$F(x,y)=M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}$$ 먼저 성분함수를 아래와 같이 정의하자. M(x,y)=y N(x,y)=x 다음으로 화살표 크기, 정의역, 화살표 사이 거리를 조절하는 슬라이더가 필요하다. scale: 화살표 크기 a: 정의역 b: 화살표 사이 거리 마지막으로 벡터장은 아래와 같이 나타낸다. vectorfield=sequence(sequence(vector((i,j),(i,j)+scale(M(i,j),N(i,j))),i,-a,a,b),j,-a,a,b) 위에 있는 함수는 아래와 같다. vector(,) sequence(,,,,) 이제 성분함수를 조절하면 여러 가지 벡터장을 나타낼 수 있다. https://www.g..
벡터장(Vector field)
수학이야기/Calculus 2019. 11. 13. 10:11
중력이나 전기력은 주어진 점에서 방향(direction)과 크기(magnitude)를 가진다. 방향과 크기를 함께 나타내는 좋은 도구는 바로 벡터다. 정의역에 있는 점에 정해지는 힘을 벡터로 나타내면 벡터장(Vector field)이 만들어 진다. 유체나 기체가 들어 있는 공간이 있다면 주어진 점에서 유체나 기체의 속도가 정해진다. 3차원에서 일반적으로 벡터장은 아래와 같이 표현한다. 당연히 벡터장은 벡터 함수(vector-valued-function)이다. $$F(x,y,z)=M(x,y,z) \mathbf{i} + N(x,y,z) \mathbf{j} + P(x,y,z) \mathbf{k}$$ 성분 함수 $M,N,P$가 연속이면 벡터장 $F$도 연속이다. 성분 함수가 미분가능하면 벡터장도 미분가능하다. ..
선적분(line integral)
수학이야기/Calculus 2019. 11. 9. 10:13
이변수 함수 $z=f(x,y)$에서 $xy$평면에 있는 곡선 $C$를 따라 적분하는 그림이다. 그림처럼 곡선 위에 있는 점에서 함숫값이 양수라면 곡선 위의 점 $(x,y)$에 높이 $f(x,y)$인 기둥을 세운 것과 같다. 따라서 정적분 값은 기둥면의 넓이가 된다. 곡선을 적당한 분할 $P$로 나누었을 때, 기둥면 넓이를 리만합으로 나타내면 아래와 같다. $$S_n=\sum_{k=1}^{n}f(x_k, y_k)\Delta s_k$$ 곡선을 나타내는 매개변수 방정식이 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}$라고 한다면 정적분은 아래와 같이 계산하면 된다. $$\lim_{|P|\to 0}\sum_{k=1}^{n} f(x_k,y_k) \Delta s_k=\int_{a}..
변환과 자코비안 행렬
수학이야기/Calculus 2019. 11. 8. 08:43
변수가 하나인 함수를 적분할 때, 다른 변수로 바꿔서 적분하면 편할 때가 많다. 이것을 치환 적분이라 부른다. $$\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du \quad\quad( u=g(x)\; \iff \;du=g^{\prime}(x)dx)$$ 보기 $$\begin{split}\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} d x &=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d \theta \quad (x=\sin \theta\; \iff \;dx=\cos \theta d \theta) \\ &=\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta d \theta =\int_{0}^{\p..

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