'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (65 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
수학이야기/Calculus 2019. 10. 28. 10:29
먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자. 2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자. $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$ 이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자. $$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$ 이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다. $$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$ 이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or c..
고차 미분방정식을 풀어 보자
수학이야기/Calculus 2019. 10. 28. 10:11
이제 고차 미분방정식을 어떻게 풀까 공부해 보자. 먼저 기본 정의와 정리를 살펴 보아야 한다. 2차 선형 미분방정식을 푸는 방법
케플러 행성 운동 법칙에 관한 공부
수학이야기/Calculus 2019. 10. 22. 16:42
원운동과 같은 운동은 동경과 편각에 따라 결정되는 것이 많아서 극좌표나 구면 좌표를 써야 편하다. 실제로 과학 공부엔 극좌표가 훨씬 유용하다. 그럼 이제 직교 좌표계가 아닌 다른 좌표계에서 운동은 어떻게 표현될까 알아보자. 극좌표 극좌표 평면에 있는 점 $P(r,\theta)$가 주어진 곡선을 따라 운동할 때, 위치, 속도, 가속도를 나타내는 방법을 찾아보자. 극좌표에서는 직교좌표에서 쓰는 $\mathbf {i},\mathbf {j}$ 기본단위 벡터 대신에 아래에 있는 단위 벡터 $\mathbf {u}_r,\mathbf {u}_{\theta}$를 써서 나타낸다. 이때 두 벡터에 곱해지는 스칼라를 성분으로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. $$\begin {equation}\mathbf {u}_r=(\cos..
숨어 있는 함수
수학이야기/미적분 2019. 10. 22. 11:28
수학은 관계를 따지는 학문이다. 현대 수학에서 관계는 주로 함수로 나타낸다. 따라서 수학 공부에서 함수를 파악하는 일이 매우 중요하다. 함수는 변수 $x$에 변수 $y$가 하나씩만 결정되는 관계이다. 이때 변수 $y$를 종속변수 변수 $x$를 독립변수라 부른다. 더 자세한 내용은 함수의 정의를 참고하자. 함수는 대체로 $y=f(x)$와 같이 변수 $y$를 변수 $x$로만 이루어진 식으로 정리한다. 구별을 위해 관계가 밖으로 드러난 함수를 양함수(explicit funtion)라 한다. 이와 달리 아래와 같이 두 변수 $x$와 $y$사이의 관계가 $f(x,y)=0$처럼 방정식으로 주어진 상황이 많다. 참고 식물 잎처럼 생긴 아래 곡선 이름은 데카르트 잎선(folium of Descartes)이다. $$x^..
프레네-세레 틀(Frenet–Serret frame)
수학이야기/Calculus 2019. 10. 22. 08:53
미분기하에서 공간 곡선을 다룰 때 프레네 Jean Frédéric Frenet와 Joseph Alfred Serret가 찾아낸 세 벡터 $\mathbf{T,N,B}$를 써서 움직임을 해석한다. 이것이 프레네-세레 틀 또는 티엔비 틀(TNB frame)이다. 이글은 https://suhak.tistory.com/916에 적은 것을 정리한 글이다. 공간 곡선 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}$이 있다. 이 곡선을 호의 길이를 나타내는 변수 $S$를 매개변수로 다시 나타낼 수 있다. 위치벡터를 $S$의 함수 $\mathbf{r}(s)$로 보고 $s$에 대하여 미분하면서 세 단위벡터 $\mathbf{T,N,B}$를 찾는다. 정의는 아래와 ..

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